澳门威斯尼斯人网址欧拉是如何计算圆周率的,

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摘要:第六章 人们在研究规尺作图三大难题中,还发现了许多类似的难题。求等圆周的线段的问题,就是一个与化圆为方密切相关的难题。此外,流传很广的是等分圆周问题,它是和三等分角

第六章

  人们在研究规尺作图三大难题中,还发现了许多类似的难题。求等圆周的线段的问题,就是一个与化圆为方密切相关的难题。此外,流传很广的是等分圆周问题,它是和三等分角相仿的难题。这个问题又叫做按规尺作图,作圆内接正多边形问题,或者叫做正多边形作图问题。

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卡尔达诺与三次方程解

  古希腊人按规尺作图法,作出了正三角形、正方形、正五边形、正六边

尼可洛.方塔纳

《无言的宇宙》,阅读第2天

欧拉的公式

(1545年)

  n形,以及边数为它们2倍 (n为正整数)的正多边形。他们还想继续作出其他的正多边形,可是正七边形就作不出来。于是,什么样的正多边形能作得出来,就成了一个作图难题。因为这个问题与三等分角问题的性质相同,关系密切,所以人们常常把它们放在一块研究。类似的,还有许多作图难题也不断地涌现出来,比如五等分、七等分任意角问题。

“我要……要……要向你挑……挑战”,年轻人盯着菲奥尔,结结巴巴地说出这句话,引起台下众人的哄笑。

阅读时间:2016年3月8日,20:20-22:20,2小时;

这些公式,不是为了计算圆周率而开发的。相反,是为了计算右边的那些和,而得到的结果。碰巧,结果里有π
那么,为什么要计算这些结果呢?因为欧拉的老师要计算。

霍拉肖代数的故事

  在漫长的年代里,难以数计的人参加了研究这些问题的行列,可是谁也提不出解决的办法。慢慢地,人们开始产生了这样一个问题:有些作图难题之所以难,是不是按规尺作图方法,本来就办不到,而不是有可能办到,只不过人们还没有找到这样的方法呢?这个想法,不是哪一个聪明人的头脑里一开始就有的。它是在一代人接一代人,延续研究了2000多年,总是找不到解决的方法之后,有些人才生了“异心”!

菲奥尔的眉毛挑了挑,打量了一下眼前这位其貌不扬的年轻人。他身体消瘦,蓬头垢面,苍白的脸上印着一道醒目的刀疤,看上去竟显得有些可怖。而且,他还是个口吃,从来不能流畅地说出一个句子。但,菲奥尔心里清楚,此人并非等闲之辈。

阅读书本:《无言的宇宙》,作者:【美】达纳·麦肯齐;北京联合出版公司;P56-P103;

很多的结果都有了,后来就有了黎曼的ζ函数。

  毫无疑问,15世纪的最后几十年标志着欧洲的文化骚动。西方文明显然已从中世纪的沉睡中觉醒。1450年,约翰内斯·谷登堡发明了活字印刷术,从此,书籍大量流通。博洛尼亚、巴黎、牛津和其他地方的大学成为高等教育和学术活动的中心。在意大利,拉斐尔和米开朗基罗开创了非凡的艺术事业,而他们的前辈列奥纳多·达·芬奇则成为文艺复兴时期艺术家的杰出代表。

  他们想:圆规和直尺不过是一种工具,世界上本来就没有什么事情就能干的万能工具。特别是规尺作图法,实际上是对规尺的使用作了种种禁令,限制它们的作用,所以有些图可以作出来,有些就可能作不出来。

当时的意大利盛行数学家之间的解题竞赛,赌注除了一笔数量可观的金钱,最重要的,是比生命还要重要的“数学家”的名誉!就在几个月以前,不知道从哪里冒出一个愣头小子。很少有人知道他的真名,因为他说话总是结结巴巴的,所以人们给他起了一个外号叫“塔塔利亚”(意大利语意为“结巴”)。数月之间,这个被称为“塔塔利亚”的年轻人居然连续战败数位公认的数学高手,甚至包括大学里的知名教授,给这座热衷用智力解决各种数学问题的城市带来不小的震撼。

阅读目标:了解那些简单而伟大的数学公式以及它们背后的故事

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  不仅仅是知识王国的疆域在扩展。1492年,热那亚人克里斯托弗·哥伦布发现了大西洋彼岸的新世界。像其他事情一样,对美洲大陆的发现证明了当代文明的认知能力是能够超越辉煌的古代文明的。15世纪结束时,欧洲无疑正处于出现伟大事变的前夕。

  数学是一门非常精确的科学。数学问题是不能根据想象或者看法就能作出结论的,它必须有严格的证明。假设有些图形是规尺作图法不能作出来的,那么,标准是什么?界限在哪里?也就成为一个难题了。

只是,菲奥尔没有想到,今天,这个“塔塔利亚”居然挑战到了自己头上。

阅读方法:边读边思考

黎曼ζ函数

  数学也是如此。1494年,意大利数学家卢卡·帕西奥利(约1445—1509年)撰写了一部题为《算术大全》的书。在这部著作中,帕西奥利讨论了当代的标准数学,并重点讨论了一次方程和二次方程的解法。有趣的是,他在方程中用字母co代表未知量,无意中创造了原始的符号代数。co是意大利语cosa(意为“事物”)一词的缩写——即求解的事物。虽然100多年以后,代数才有了我们今天这样的符号系统,但《算术大全》却朝着符号代数方向迈出了一步。

  这些难题,直到解析几何出现以后,人们学会了应用代数的方法来研究几何问题,才找到了解决的途径。

菲奥尔冷冷地盯着“塔塔利亚”,目光中透着骄傲。当然,他确有骄傲的资本。他是数学泰斗费尔洛教授的得意门生,他的老师在去世之前曾秘密地传授给他一项旷世绝技——一元三次方程的解法。而他,正是凭借这项绝技,在历次的数学比赛中立于不败之地,成就了今天的名誉和地位。

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黎曼的ζ函数。这个函数的定义域本来是复数。那么,在实数领域的自然数领域,自然应该先计算一些结果。

  然而,帕西奥利对三次方程(即一种形式为ax3 bx2 cx d=0的方程)的认识却是极其悲观的。他不知道应怎样解一般三次方程,并认为在现时的数学中,求解三次方程,犹如化圆为方一样,是根本不可能的。这种观点,实际上是对意大利数学界的一个挑战,并引出了关于下一个伟大定理的故事,即16世纪意大利代数学家和他们求解三次方程的故事。

  用代数方法研究几何图形

台下众人依旧在笑那位年轻人,一些人在笑他那蹩脚的发音,另一些人则是笑他的不自量力。

牛顿《流数法与无穷级数》插图

(希腊字母ζ 读作/'zi:tə/ zeta 泽塔;)
(数学符号真的很混乱,必须吐槽。拉丁字母和希腊字母以及阿拉伯数字都不够用,再加上物理和化学中,混用的符合。还有数学家经常用的怪怪的花体。)

  故事是从博洛尼亚大学的希皮奥内·德尔·费罗(1465—1526年)开始的。天才的费罗接受了帕西奥利的挑战,他发现了一个解所谓“缺项三次方程”的公式。所谓缺项三次方程,就是一个没有二次项的三次方程,其表现形式为ax3 cx d=0。通常,我们习惯于用a去除方程的各项,并将常数项移到方程右边,这样,我们就可以将这一缺项三次方程转变为其标准形式

  数学和其他科学的发展一样,不少长期解决不了的问题,一旦出现了新的认识,或者把它们放到更大的范围去观察,常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现,是规尺作图三大难题走向解决的转析点。

菲奥尔却没有笑,他居然很认真地问了一句:“你打算下多少赌注?”

阅读笔记:

s=1 的时候,是大名鼎鼎的调和级数,虽然是发散的,但也是可以计算的,欧拉给出了结果,与对数和欧拉常数有关,不在这里讨论了。

  x3 mx=n

  解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样,都是哲学家兼数学家,他们都形成了各自的学派,有的数学史说:柏拉图主义者相信权威,笛卡儿学派相信理性,但是他们同样认为数学是科学之王。

“塔塔利亚”停顿了一下,说出了一个数字。

第二部分:探索时代的定理

s为偶数的时候,与π有关。

  出于明显的理由,文艺复兴时期的意大利人称这一方程为“立方加未知量等于数字”。虽然费罗只掌握了这种特殊形式的三次方程,但他对代数的推进却意义深远。人们或许会以为他将广为传播自己的成功,但实际上,他却完全不动声色。他对三次方程的解法绝对保密!

  1637年,笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的,书中引入了变数,创始了解析几何。

这一次,没有人笑了,取而代之的是一阵交头接耳的骚动。那是一笔足以让任何一方倾家荡产的金额,这个年轻人简直是在用自己的性命做赌注。

塔尔达利亚向卡尔达诺透露的公式现在冠以后者的名字,这十分不公平。这一公式开创了数学上的一个探索时代,这一时代将改变世界数学的疆界,其深刻程度不亚于哥伦布的发现对于真实世界地理面貌的改变。

那么,这些结果是如何得到的呢?

  这种做法在“不发表即发霉”的今天,简直不可思议。为了能够理解费罗这种奇怪的做法,我们必须考虑到文艺复兴时期大学的特性。那时,大学里的学术职位没有安全感可言。除了保护人的庇护和政治方面的影响外,继续任职还取决于能否在任何地点任何时间赢得公开质疑。因而,像费罗这样的数学家就必须随时准备与人进行学术论争,而当众出丑对于一个人的事业来说,可能是灾难性的。

  在初等数学中,基本的情况是几何是几何,代数是代数。人们研究和处理几何和代数问题,就方法而言是不同的。比方说,在平面几何中,要考查三点是否共线,或者四点是否共圆,虽然有时也利用某些代数知识,但是一般不讨论直线或者圆的方程,以及它们的解。

菲奥尔却笑了,他接受了挑战。

七、口吃者的秘密:卡尔达诺公式

从最简单的平方倒数和开始吧。我见过用傅立叶级数展开二次函数的,然后直接赋值,得证。那种方法应该叫做验证,不能叫做证明,也不是推导。因为欧拉生活的年代比傅立叶早几十年。用傅立叶的级数来证明欧拉的公式,做法就好像用两点间距离公式证明勾股定理一样。尽管数学领域里,定理之间条条大路能相通,但还是应该看看当初是如何走的。

  因此,一个重要的新发现就是一件有力的武器。如果有一个对手提出一系列求解的问题,费罗就可以用一系列缺项三次方程来应付。即使费罗被他对手的某些问题难住了,他也可以相信,只有他一人掌握的三次方程注定了他那倒霉的对手必然失败。

  解析几何是用代数方法来研究几何图形,通过建立坐标系,在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁,人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目,例如写出它们的方程,用代数的方法加以解决;之后,再把得到的结果,“翻译”成几何的答案。这样,就不只增加了解决几何问题的思路和方法;而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚,使这些几何题化难为易了。

按照约定,“塔塔利亚”和菲奥尔各自给对方出30道题,在规定时间内,哪一方先解完所有题目,或正确率更高即将赢得比赛。

塔尔达利亚要解的方程是一个三次方程。

从哪儿开始讨论呢?

  希皮奥内对他的三次方程解法终生保密,直到弥留之际才将其传给了他的学生安东尼奥·菲奥尔(约1506—?)。虽然菲奥尔的才华比不上他的老师,但他利器在握,不禁心高气傲,于1535年向布雷西亚的著名学者尼科洛·丰塔纳(1499—1557年)提出了挑战。

  解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面,最先突破的是高斯。

菲奥尔出题的速度很快,那些是他早已熟烂于胸的问题——一元三次方程。他坚信,在老师去世以后,这个世界上目前除了他自己,没有人知道这些问题的答案。而之前自己所经历的无数阵大大小小的比赛,也无一不印证了这一点。

开始时卡尔达诺遵守诺言,没有公布塔尔达利亚的方法,但后来几年中发生的几件事情,让他心痒难挠,一心想发表这种解题方法。第一,他和助手费拉里已经找到了方法可以将任何3次方程,简化为菲尔洛形式的方程,或者另外12种基本形式的一种;这一成就就已经超越了塔尔达利亚;第二,卡尔达诺后来所写的那样,“应我的要求,费拉里发明了一种求解4次方程的方法。”这后一项发现的意义远远超过了卡尔达诺轻描淡写的评论中暗示的程度。

大约应该从伯努利数开始。因为欧拉也有老师,欧拉的老师是约翰伯努利。但伯努利数,好像是雅各布伯努利发现的。总之,伯努利兄弟中的一位发现的,他们俩一起研究的。

  幼年时期一次不幸的灾难伴随了丰塔纳一生。1512年,法国人进攻他的家乡时,一名士兵,手持利剑,在年幼的尼科洛脸上凶残地砍了一刀。据传说,这孩子能够活下来,完全是因为一条狗经常舔他脸上可怕的伤口。虽然狗的唾液挽救了他的性命,但却无法挽救他说话的能力。尼科洛·丰塔纳面目全非,以致再也不能清晰发言。于是,塔尔塔利亚(意为“结巴”)便成了他的绰号,而他今日正是以这一残忍的绰号而著称。

  1795年,高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久,他就按规尺作图法,作出了正十七边形。不久,他又提出理论,证明了按规尺作图方法,根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题,都是延续了2000多年没有得到解决的难题,被年轻的高斯解决了。特别是关于规尺作图法的不可能问题,是一项惊人的成就。他从思想方法上,促进了规尺作图三大难题的研究和解决。

可当他拿到“塔塔利亚”所出的题目的时候,却愣住了——居然也是一元三次方程!

在发现二次方程的解法与三次方程的第一次求解之间,历史跨越了3000多年,但费拉里只花了区区4年,便成功地解决了四次方程的求解问题。

这种数有什么特点呢?就是出现在自然数幂和中。

  我们暂且抛开他的残疾不谈,塔尔塔利亚确是一位天才的数学家。实际上,他自称能够解出x3 mx2=n形式的三次方程(即没有一次项的三次方程),但菲奥尔怀疑他是否真找到了这种解法。塔尔塔利亚受到菲奥尔挑战之后,便给菲奥尔寄去30道涉及各种数学问题的问题。而菲奥尔则回敬他30道“缺项三次方程”,使塔尔塔利亚陷于困境。显然,菲奥尔是在孤注一掷,塔尔塔利亚究竟能得0分,还是30分,就取决于他是否发现了解三次方程的秘密。

  数学难题的解决,往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果,先得了解一下费尔马数。

“这个家伙是不是疯了”,菲奥尔想着,“居然用我最拿手的题目来考问我,难道说……”。他仔细地浏览着这些方程,心头竟隐隐地升起一丝慌恐。

卡尔达诺发表了《大衍术》(伟大的艺术),其中包括对三次与四次方程的完整求解方法,从而公开了这一秘密。

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  毫不奇怪,塔尔塔利亚开始夜以继日地疯狂研究缺项三次方程。日子一天天过去,他越来越沮丧。眼看最后期限就要到了,终于,1535年2月13日夜,塔尔塔利亚发现了三次方程的解法。他的努力终于得到了回报。他现在可以轻而易举地解出菲奥尔的所有问题,而他的平庸的挑战者则成绩平平。塔尔塔利亚光荣地战胜了对手。作为酬报,倒霉的菲奥尔应以丰盛的酒宴款待塔尔塔利亚30次;但塔尔塔利亚却以一种宽宏的姿态,免却了这一约定。与受到的羞辱相比,省下的钱财对于菲奥尔来说实在微不足道;于是,菲奥尔从此销声匿迹。

  费尔马是一个很有成就的数学家,提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础;与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作;在光学中提出了费尔马极小时间原理;在数学中提出过无限下推法。不过,费尔马的不朽贡献,主要是在数论方面。

这些题目似乎跟他所熟知的形式的不太一样,它们没有常见的“一次项”,却多了一个古怪的“二次项”!那时候,人们对三次方程的解法,并没有成熟到可以得到一般形式方程的通解。菲奥尔的老师费尔洛的方法只适用于不含二次项的三次方程,菲奥尔自己也曾探索更加广泛形式方程的解法,但一直无果。没想到今天“塔塔利亚”所出的题目,却恰恰击中了自己的软肋!

卡尔达诺公式,首次吸引人们在数学中使用虚数和复数的事物之一如果没有虚数,不但现代数学无法想象,就连现代物理也同样无法想象。

自然数幂的和

  接着出现的也许是整个数学史中最奇特的人物——米兰的杰罗拉莫·卡尔达诺(1501—1576年)。卡尔达诺听说了有关这一挑战的故事后,就想更多地知晓塔尔塔利亚这位三次方程大师奇妙的技巧。卡尔达诺大胆地要求塔尔塔利亚这位布雷西亚学者公开他的秘密,从此,故事发生了意想不到的重大转折。

  在费尔马一生的大量成就中,也包含着两项影响较大的不确切的工作;一项是他的一个猜想,被证明是错误的;另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理,在他宣称被他证明了的300年之后,人们还没有找到证明的方法,于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。这里先介绍前一个猜想。

菲奥尔的头上开始冒出冷汗,但他的心里仍然寄托着一丝希望。即便自己解不开“塔塔利亚”的题目,对方也未必能解开自己所出的题!

卡尔达诺的公式指的是任何带有二次、三次、四次等方根,且它们可能相互嵌套的公式。数学家们称此为“根数解”。

只有这几个公式,伯努利兄弟是不满意的。他们要求出任意的幂和。也就是说,5次方,6次方,7次方......

  在继续叙述之前,我们先来看一看杰罗拉莫·卡尔达诺不平凡的一生。我们有幸在他写于1575年的自传《我的一生》中读到他第一人称的叙述。这本书充满了卡尔达诺的回忆、怨恨和迷信,还有大量奇闻轶事。虽然在几乎全部自传中,这一本自传是最不可信的,但我们从中却可以窥见他动荡不安的一生。

  2n

但是,仅仅两个小时之后,菲奥尔最后的希望被击碎了。“塔塔利亚”解开了所有的30道题,并且,全部正确!

八、九重天上的秩序:开普勒的行星运行定律

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  卡尔达诺首先追述了他的先祖。在他的家谱中可能包括教皇切莱斯廷四世,还有他的一个远亲安焦洛。安焦洛在80岁高龄时

  费尔马研究了形如2 1的数,共中n是非负整数。他令n分别等于0,

人群沸腾了!并不是为了菲奥尔的落败,而是为了“塔塔利亚”的成功!

1543年,尼古拉·哥白尼在临死前不久发表了《天体运行论》,其中认为处于太阳系中心位置的并非地球,而是太阳。

任意幂和

  “才得儿子——孩子像他们父亲一样衰弱……他的长子活了70岁,我听说他的子女中有些成了伟人。”

  2n1,2,3,4,得到相应的2 1如下表:

“塔塔利亚!塔塔利亚!塔塔利亚!……”

实际上,公元前四世纪希腊哲学家就已经讨论过一种宇宙的日心模式。17世纪初叶,两大事件把“哥白尼学说”推到了一场疾风骤雨般的争论的中心。

这个和怎么求呢?

  接着,在《我的诞生》一章中,卡尔达诺写道:“我听说,虽然用了各种堕胎药,但都无效”,他活下来了,严格地说,只是“从我母亲的子宫里拖出来了”。这种方式使他近于夭折,用温酒洗浴才活了下来。卡尔达诺似乎是一个私生子,这才能解释他何以不受欢迎。伴随而来的耻辱影响了他的一生。

  n     0    1     2     3     4

人们呼喊着他的名字,他们意识到,一个崭新的数学新星诞生了!而这位数学新星所收获的第一份礼物,便是一笔巨额赌金!

其一,是1608年望远镜的发明,其二是伽利略·伽利雷,利用一台这种新发明的望远镜发现了围绕木星旋转的4颗小卫星。

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  由于先天不足,卡尔达诺终生经受疾病的折磨就不足为怪了。在他的自传中,他坦率描述了这些痛苦,常常刻划入微,甚至到了令人厌恶的地步。他告诉我们,他患有严重的心率过速,胸腹部流出液体,还患有脱肛和痔疮,以及一种“排尿过多”的疾病,每天排尿多达100盎斯(约一加仑)。他惧怕登高和前往“据说疯狗出没过的地方”。他多年患有阳萎,直到临近结婚时才痊愈(无疑正是时候)。卡尔达诺常常连续八个夜晚失眠,这种时候,他只能“起床下地,绕着床转圈,一遍又一遍地数数,数到一千。”

  2n     1     2    4     8     16

“我……放弃赌金”,“塔塔利亚”说,表情平静。

尽管人们认为约翰尼斯·开普勒是一位天文学家,但是开普勒在数学和大胆假设方面有真正的天赋。他的名声基于他发现的三个数学定律。昔日的旧天文学关心的是如何描述宇宙,新型天文学旨在解释行星与其他天体运行的规律,而开普勒的三大定律,正是在这两种天文学之间架设的桥梁,

伯努利数与自然数幂和

  偶尔不受这些疾病折磨时,卡尔达诺就自己折磨自己。他这样做是因为“我觉得快乐存在于强烈痛苦之后的放松”,而且,当身体上不受痛苦的时候,“精神上的痛苦就必然会来压迫我,没有什么能比这种痛苦更强烈的了”,所以,

  2 1    2 1=3 2 1=52 1=172 1=2572 1=65537

什么!?你说什么!?

开普勒第一定律称,行星并非以圆形轨道环绕太阳运行,它们的轨道是椭圆形,其中太阳位于椭圆型的一个焦点。

其中,括号里的是选择数,Bn是伯努利数。

  “我想出了一个办法,用力咬我的嘴唇,拧我的手指,掐我左臂的肌肉,直到疼得流出眼泪为止。”卡尔达诺说,这种自我折磨还算值得,因为一旦停止下来,就会感到非常惬意。

  2n

“我,放,弃,赌,金”,他说得很慢,这一次居然没有结巴。

开普勒第二定律称,行星在靠近太阳时速度加快,而且加速方式可以准确地定量确定。无论行星在其轨道上何处运行,该行星扫过的面积,在任何给定的固定时间间隔内都相等。

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  然而,身体(和精神)上的疾患还不是他唯一的问题。卡尔达诺在帕多瓦大学以优异成绩完成他医学学业之后,却不能获准在他的家乡米兰行医。究其原因,可能是因为他是人人皆知的私生子,也可能是因为他那讨厌而古怪的个性,但不论什么原因,这在他一生的沉浮中标志着一个低潮。

  在这个表中,所有形如2 1的数:3,5,17,257,65537都是素数。

他疯了!众人哗然。

开普勒第三定律,为行星之间的比较奠定了基础。这一定律说行星年的长度与它和太阳的距离的3/2次方成正比。(对这一定律的另一种陈述方式是:行星公转周期的平方与它与太阳间的平均距离的立方成正比。)

伯努利数递归计算

  在米兰遭到拒绝,卡尔达诺就转移到帕多瓦附近的一个小镇萨科,在乡间行医,那里不乏田园风光,但多少有些闭塞。在萨科的一天夜里,他梦见了一个身穿白衣的漂亮女人。他很信梦,因此,当有一天,他遇到了一个与他梦中所见完全一样的女人,不免受到极大震动。起初,贫困的卡尔达诺因为不能向她求爱而深感绝望:

  2n于是,费尔马发表猜相:形如2 1的数,当n为非负整数时,都是素数。

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开普勒第三定律为我们提供了一个把公转周期转化为相互间距离的直接方法。后来运用牛顿引力定律对此所做的改进让我们可以通过公转周期推导卫星、行星或者恒星的质量。

对于大于或等于3奇数n,Bn=0

  “如果我,一个穷人,娶一个女人,没有嫁妆,只有一大群弟妹需要供养,那我就完蛋了!我甚至连自己也养活不起!如果我试图诱拐她,或勾引她,周围又会有多少双眼睛在监视我!”

  2n

“我,我只有……一个要求,请……请叫我——尼可洛.方塔纳。”

这样的计算对于许多研究都具有根本性的意义,其中一个例子是对可能存在生命体的太阳系外行星的搜寻。如果有一天我们真的在一颗遥远的行星上发现了存在生命的证据,这将归功于开普勒和他的第三定律。

从下标0开始,最初的几个伯努利数是:
0 ; -1/2 ; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0 ; -691/2730; 0 ; 7/6

  但终于,他的爱赢得了婚姻。1531年,他娶了梦中的女人卢西亚·班达里妮为妻。

  后来,在数论中,把这样的数都称为费尔马数,记作Fn,即Fn=2 1,n为非负整数。

“塔塔利亚”胜利了,他赢得了数学家的名誉。各地的人们慕名而来,有的向他表达敬意,有的向他请教问题,甚至也有人向他发起挑战——然后铩羽而归的。只可惜,在这些人当中,罕有谁记住他的真名“尼可洛.方塔纳”,反而是“塔塔利亚”的称呼随着他的名望被越来越多的人熟知。

九、书写永恒:费马最后定理

这里不推导和计算。过程是比较繁复的。总之,伯努利兄弟解决了所有的自然数幂和。但遇到倒数和的时候,竟然束手无策。可惜的是,当欧拉计算出来的时候,他的老师已经去世了,欧拉只好对着上天告慰。

  这段小插曲表明了梦、先兆和预兆在卡尔达诺的一生中所起的突出作用。他是一位热心的占星术士,一位护身符佩戴者,一位从雷雨中预卜未来的预言家。并且,他还常常感到守护神的存在,他在自传中写道:

  但是,费尔马死了67年之后的1732年,25岁的数学家欧拉,证明了F

“您好,塔塔利亚先生”,有一天,来了个不寻常的访客,一位在当时已经颇有名望的数学家——卡当。

皮埃尔·德·费马热爱数学。由于命运的一次离奇扭转,他传世最为久远的遗产是一个他几乎可以肯定没有解决的难题。

那么,欧拉究竟是如何计算的呢?

  “据说守护神……常常对某些人特别垂青——苏格拉底、柏罗丁、辛纳修斯、戴奥、弗莱维厄斯·约瑟夫斯,我觉得自己也包括在内。所有这些人,除了苏格拉底和我之外,都生活得非常幸福……”

  5不是素数:

“请……,请叫我,尼可洛.方……方塔纳”,“塔塔利亚”纠正道,他几乎已习惯了对每位来访者说这句话。

费马在书页空白处写下的貌似简单的笔记,后来被叫做费马最后定理。

这要从正弦函数的展开说起。早在牛顿之前的时代,人们就已经知晓很多函数的展开。欧拉最喜欢的是e的展开。

  显然,他很乐意与他的守护神热烈交谈。卡尔达诺20世纪的传记作家奥伊斯坦·奥尔说:“由于这类故事,无怪他的一些同时代人认为他精神不正常。”

  5n 32

可是来人显然对他叫什么并不是特别在意,他很快就进入了正题,“我真诚地向您请教有关三次方程的解法,塔塔利亚先生,为此我愿意付出我的一切!”

他写道:任何立方数都不可能写为两个立方数之和的形式,也没有任何四次方数可以写成为另外两个是次方数的形式。普遍地说,任何二次以上的幂都不可能写成另外两个同次幂的形式。对此我已经找到了一个真正绝妙的证明,但书的空白处实在太小,无法把它写下来。”

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  他的另一个终生爱好是赌博。卡尔达诺经常沉湎于赌博,他常常能赢许多钱,贴补收入。他在自传中以忏悔的心情承认:

  F=2 1=2 1

“塔塔利亚”对卡当的这种直言不讳感到厌恶,他粗暴地拒绝,并把卡当赶出家门。对他来说,几乎每天都有这样的“流氓”前来提出这种无理的要求,而这就是他能给他们的唯一答复。

(即,n大于2时,不存在整数解。后人评,为何不写下来呢?笔落处,抒写便是永恒。要知道,直到350年后的1993年,怀尔斯宣布他证明了费马最后定理。

exp

  “……我过度沉溺于轮盘赌和掷骰子,我知道,我应该受到最严厉的批评。我染上这两种赌瘾有许多年了;不仅年年赌,而且,我羞愧地承认,是天天赌。”

  5

但是,他低估了卡当的执着。在接下来的几年里,卡当以近乎疯狂地坚持,不断地央求“塔塔利亚”告诉他解三次方程的方法,哪怕能换取到有关这个解法的一点点信息,他也愿意付出任何代价。

十、一片未曾探索过的大陆--微积分基本定理

那么,

  幸好,卡尔达诺将这一恶习提到科学研究的高度。他为此撰写《论赌博》,死后于1663年出版,这是第一部论及数学概率的重要论文。

  =4294967297

当然,卡当也低估了“塔塔利亚”的决绝。无论卡当怎样哀求,甚至做出任何承诺,他都不为所动,坚决不肯吐露一个字。

在17世纪,数学家们确实发现了他们相当于美洲新大陆的发现,这片大陆的名字叫做微积分,他有两位主要发现者,艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。

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  这样,杰罗拉莫·卡尔达诺从1526年至1532年,在萨科生活了许多年,他在那里算命、赌博,并成了家。但是,不论是他的收入,还是他的自尊,都使他不能长期忍受小镇的环境。1532年,卡尔达诺携其妻子卢西亚与儿子詹巴蒂斯塔一道返回米兰,但他仍然被禁止行医,最后不得不依靠贫民院的救济过活。

  =641×6700417

直到有一天,……

自从微积分问世,数学家和科学家在讨论连续变化的数量时便有了科学依据。

exp(-x)

  终于,好运降到了他的头上。卡尔达诺开始讲授大众科学,这种讲演特别受到有教养的人和贵族的欢迎。他撰写了许多有趣的论文,论题从医学、宗教到数学,内容极为广泛。特别是1536年,他发表了一篇论文,攻击意大利医生中的腐败和不称职现象。这篇文章无疑得罪了医学界,但却受到公众的欢迎,医学界再不能将卡尔达诺拒之门外。1539年,米兰医师协会勉强接收他为会员,不久,他就赢得了行业的最高声誉。到16世纪中叶,卡尔达诺已成为也许是欧洲最著名和最受欢迎的医生。他曾为教皇治过病,也曾越洋去苏格兰(这在当时是一个漫长而艰难的旅程)为圣安德鲁的大主教治病。

  这样一来,就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候,人们要判断F是不是素数,还是相当困难的,因为事先并不知道要判断641是不是它的

“阿方索.德阿瓦洛斯”,卡当说出了这个名字,“他是整个伦巴底地区的地方长官以及米兰驻军的司令官,意大利最有权力的男人之一。”

微积分基本定理为解决这类数量的问题提供了实用工具,没有微积分人们将无法理解现代科学,特别是物理学和工程学。

两个算式相加,平均以后得到

  但是,好景不长,不久就接连发生了悲剧。1546年,他的妻子去世了,年方31岁,留给卡尔达诺两个儿子、一个女儿。在这些子女中,长子詹巴蒂斯塔是卡尔达诺的希望与欢乐。这个孩子非常聪明,他在帕维亚大学获得了医学学位,子承父业,前途不可限量。但是,灾难像“疯女人”(卡尔达诺语)一般袭来。他写道,1557年12月20日晚,“……我正当睡意朦胧之际,床突然抖动起来,继而整个卧室都在震动。”第二天早上,卡尔达诺从询问中得知,全城没有任何其他人感觉到了夜里的震动。卡尔达诺认为这是一个凶兆。他刚一得出这个结论,仆人就带来一个意想不到的消息:詹巴蒂斯塔娶了一个“平庸或没有任何可取之处”的女人为妻。

  5因数。

“塔塔利亚”听着,这一次他居然没急着把卡当推出门外。

一切与微积分基本定理有联系的数学范畴都被称为“分析”,而且它还被细分为实变函数分析、复变函数分析、泛函分析等。

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  后来证明这果然是一桩不幸的婚姻。詹巴蒂斯塔的妻子生了三个孩子,她自称,没有一个是詹巴蒂斯塔的。她的不贞,乃至不知羞耻,令詹巴蒂斯塔失去了理智。为了报复,他在给妻子的糕点里下了砒霜。砒霜果然有效,而詹巴蒂斯塔自己也以谋杀罪被捕。卡尔达诺凭借他的声望,作了不懈的努力,但一切都无济于事;他的爱子罪名成立,并于1560年4月初被推上断头台。

  后来,人们分别证明了n等于6到16的费尔马数,都不是素数;n等于17时是不是素数,到现在还是一个难题。n等于18以后,也分别找出了三四十个不是素数的费尔马数。

卡当盯着“塔塔利亚”,似乎已把他的心思看穿。他继续说到:“我知道,您前段时间出版了一部关于军事技术方面的著作,我已经拜读过了,出于对您的敬仰,我把它推荐给了一位朋友,您知道的,就是这位阿方索先生。前些天,阿方索先生对我说,他非常想见见这部书的作者,也就是您本人……”

牛顿让物理学和数学都发生了根本转变:他发明了反射式望远镜并系统阐述了牛顿运动定律。可以毫不夸张地说我们的建筑物得以高耸、我们的宇宙飞船得以翱翔,这都是拜牛顿定律之所赐。

cosh(x)

  “家门不幸,以此为甚。”极度悲痛的卡尔达诺写道。他心如死灰,失去了他的朋友、事业,甚至生活的兴趣。与此同时,他的另一个儿子阿尔多也成了罪犯,实际上,卡尔达诺“不得不一次又一次地将他送进监狱”。令人心碎的事情似乎一件接着一件。1562年,他离开米兰这座记载着他的成功与不幸的城市,接受了博洛尼亚大学的一个医学教职。陪同他一起的是他的孙子,詹巴蒂斯塔的儿子法齐奥。在他垂暮之年,这位老人与孩子之间也许发展了一种强烈的友爱关系,使他享受到了他自己的子女未能给予他的天伦之乐。

  总之,除了原来已经知道的n等于0到4的这五个费尔马数是素数外,新的费尔马数是素数的,一个也没有找着。

“塔塔利亚”的眼睛动了动,似乎要放出光来。这么多年,他一直在等一个机会。与菲奥尔一战,为他带来了一些成就,但这还远远不够。更重要的是,这仅有的一点成就还属于“塔塔利亚”。他要找机会做更大的事情,要让人们永远记住,他是“尼可洛.方塔纳”!他感觉到,这个机会就要来了。

与牛顿所类似,莱布尼茨也有许多数学以外的兴趣,他还是一位哲学家。“上帝创造了一切可能的世界中最美好的一个”

这些函数的定义域都是复数域,用ix代入,则有:

  但是,年幼的孙子和新城市也未能给他动荡的生活带来宁静。1570年,卡尔达诺以异端罪被捕入狱。当时,意大利教会对宗教改革运动的异端采取了强硬态度,卡尔达诺曾为耶稣占星,并写了一本《尼禄颂》,记述这位可恨的反基督教的罗马皇帝,教会当然大为不快。

  这样,有一种相反的猜想已经提出来了:只有有限个费尔马数是素数。这也是一个难题。

“你……你要答应我,一……一个条件”,“塔塔利亚”说道,表情凝重。

欧洲数学家在整个17世纪都一直在摸索着走向微积分的发现。他们的尝试源于两个不同的方向,第一个方向是求积问题,即计算不规则区域(通常是曲边形)的面积;第二个方向始于对任意曲线画切线的问题。

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  监禁和羞辱似乎使年迈的卡尔达诺名誉扫地。然而,一些有名望的朋友们为他讲情,加上教会的宽恕,卡尔达诺不久即被释放出狱,他来到罗马,不知怎么竟得到了教皇颁发的养老金!所谓否极泰来,大约就是这样的了。卡尔达诺恢复名誉后,与他心爱的孙子一道,度过了他的晚年。他在自传中骄傲地写道,虽然他年事已高,但仍有“十四颗好牙和一颗有点儿松动的牙;但我想,这颗牙会存在很长时间,因为它还好用。”卡尔达诺在比较平静的气氛里度过了他的晚年,并于1576年9月20日安祥地死去,结束了他充实的一生。

  高斯按规尺作图法作出了正十七边形后,紧接着就证明了一个关于规尺作图的重大定理:

“当然,您知道的,我愿意为您做任何事情”,卡当卑躬屈膝,额头几乎就要挨到地板。

只有牛顿和莱布尼茨抓住了事情的本质:求积与切线问题,这两者实际上是同一问题并行的两个方面。曲线图是两个变量之间关系的直观表达:例如股价与时间之间的关系;或者电势与时间之间的关系。

cos(x)

  对于现代读者来说,卡尔达诺是一个自相矛盾但却依然十分迷人的人物。他的著述多得令人难以置信,累计达7000页,广泛涉及从科学到其他领域的各种主题。但他虽然一只脚站在现代理性世界,另一只脚却站在中世纪迷信的非理性世界。就在他谢世一百年后,伟大的哲学家兼数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹恰当地概括了他的一生:“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人;没有这些缺点,他将举世无双。”

  如果一个奇素数P是费尔马数,那么,正P边形就可以用规尺作图法作出,否则就作不出来。

“解法,你……你绝不准再……,再告诉任何人!”

就这样,牛顿和莱布尼茨引入了两个新的数学概念:解决求切线问题的微分;和解决求积问题的积分,但牛顿用的是与此不同的术语。

结果正好跟余弦函数的展开一致。也就是说cos(x)=cosh(ix)。

  我们现在再回到三次方程的问题,卡尔达诺对解三次方程作出了重大贡献。1535年,布雷西亚的塔尔塔利亚发现了某些类型三次方程的解法,从而战胜了安东尼奥·菲奥尔。卡尔达诺极感兴趣,他一次又一次地写信给塔尔塔利亚,请求塔尔塔利亚告诉他三次方程的解法,当然,他一次又一次地遭到拒绝,因为塔尔塔利亚决心趁势写一部解三次方程的书。卡尔达诺起初非常生气,但终于好言好语将塔尔塔利亚请到米兰作客。1539年3月25日,塔尔塔利亚向卡尔达诺公开了他解缺项三次方程的秘密,但他是用密码书写的。卡尔达诺为此庄严宣誓:

  根据这个定理,F=3,F=5,F=17,所以正三角形、正五边形、正十七

“一定,塔塔利亚先生,我一定不会再告诉其他任何人!”

在某种程度上这两种计算在过去都有人做过,积分从本质上说与卡瓦列里的“不可分割法”是同一种东西。但过去从来没有人意识到,微分与积分互为逆运算。我们今天称这一逆运算关系为微积分基本定理。

同样的道理,相减处理后可以得到 sinh(ix)=i sin(x)
以及正弦函数的展开:

  “谨对着神圣的福音书,以君子的信义向你发誓,如果你把你的发现告诉我,我不仅绝不发表,而且还以我一个真正基督教徒的忠诚保证并发誓也用密码记录,这样,在我死后,就没有人能够读懂这些密码。”

  0   1   2边形都能作出,而7,11,13等素数都不是费尔马数,所以正七边形、正十一边形、正十三边形等都不能作出。

“你要……发,发誓!”

微积分这一发现最终让数学彻底掌握了连续变化的概念。

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  现在,这场戏剧中的最后一个人物出现了。这就是年轻的卢多维科·费拉里(1522—1565年),他敲开卡尔达诺的门,要求找一份工作。那天,卡尔达诺听到喜鹊不停地叫,知道是个吉兆,便急忙收下这个孩子为仆。小卢多维科很快显现出是一个绝顶聪慧的神童。他们的关系很快便从主仆关系发展为师生关系,最后,在费拉里不到20岁的时候,他们的关系又转变为伙伴关系。卡尔达诺将塔尔塔利亚的秘密告诉给了他聪明而年青的弟子,两人共同努力,取得了惊人的进展。

  对应于F的正257边形,是德国的黎克洛于1832年,用规尺作图法作

“我发誓!塔塔利亚先生,我绝不会把三次方程的解法再告诉除你我之外的其他任何人,否则将坠入万劫不复的地域!”

在莱布尼茨和牛顿之前,数学家们一直被局限于静止的图像或者离散型数量的梏桎之内。

sin(x)

  例如,卡尔达诺发现了如何求解一般三次方程x3 bx2 cx d=0

  3出来的;对应F的正65537边形,经德国的赫尔姆斯十年的研究,才按规尺

“请,请叫我尼可洛.方塔纳。”

但是整个现代科学都是关于变化的科学,数学家在微积分中找到了他们投身现代科学的必要工具。

然后,用一个特殊值代替x

  在这里,系数b、c、d可以是0,也可以不是0。但遗憾的是,卡尔达诺的工作是立足于将一般三次方程化为缺项三次方程,这样就遇到了为塔尔塔利亚保守秘密的问题。与此同时,费拉里也成功地发现了解四次多项式方程的方法。这是代数上的一个重大发现,但它也是依据化四次方程为相关的三次方程的方法,同样也受制于卡尔达诺的誓言而不能发表。他们两人都作出了当时代数学中最大的发现,但却都陷入了困境。

  4作图方法作出来。黎克洛的作法,占了一本数学杂志的80页;而赫尔姆斯的手搞,装了整整一个手提箱,现在还保存在哥庭根大学。

然而,卡当,并没有遵守他的承诺。几年以后,卡当出版了自己生命中一本重要的著作《大术》,其中,他公开了一元三次方程的解法。也许,是为了弥补,他在书中提到:“是塔塔利亚最先发现了这个方法,并将该方法告诉了我,但是没有给出证明。我从塔塔利亚的方法中得到启发,完善并证明了这个方法。当然,证明的部分才是最难的……”

甚至到了17世纪30年代,笛卡尔还曾经写道:不可能找到与一条直曲线等长的直线段。现在就连一个学生也能使用微积分完成这一项工作。

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  后来,1543年,卡尔达诺与费拉里一起来到博洛尼亚,他们仔细查看了希皮奥内·德尔·费罗的论文。对于费罗来说,这一整个故事早在三十年前就已开始了。他们在论文中看到了费罗亲手写的缺项三次方程的解法。它对卡尔达诺的含义是十分清楚的:他不必再受限制而不能发表这一解法了,因为这是费罗,而不是塔尔塔利亚发现的,他当然可以接受费罗的启示。急切的卡尔达诺才不管费罗与塔尔塔利亚的解法其实完全相同。

  高斯在数学的许多领域中,都作出了杰出的贡献,被称为“数学之王”。他一生工作严谨,生活简朴,坚持每天读报,喜爱文学和研究过多种外语,并且在物理学、天文学、测绘学方面,都作出了重要贡献。

“塔塔利亚”气愤之极,他大骂卡当是无耻的小偷和叛徒!但是,一切都为时已晚,他无法阻止人们将《大术》中提到的方程称为——卡当公式!

牛顿无疑是第一个知道微积分基本定理的人,但他却把微积分作为自己的秘密隐藏起来;莱布尼茨是第一个告诉世人微积分存在的人,还因为莱布尼茨的表述方法较为简单,所以我们今天使用的表述方法,几乎完全是莱布尼茨的版本。

特殊值平方根

  1545年,卡尔达诺出版了他的数学名作《大衍术》。对于卡尔达诺来说,代数是一门“伟大的艺术”,而他的著作代表了代数学中一个惊人的突破。《大衍术》共包括40章,开始几章只讨论了一些简单的代数问题,而在题为“论三次方加一次方等于常数”的第十一章中,最终展现了三次方程的解式。值得注意的是,卡尔达诺为这关键的一章写了如下的序言:

  高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形(也有的书上说是墓碑的底座是正十七边形),以纪念他少年时代杰出的数学发现。

“塔塔利亚”已别无选择,他决定使用最后的办法来挽回荣誉,与卡当进行数学决斗!

十一、关于苹果、传说……以及彗星:牛顿定律

设有这样一个方程:

  “博洛尼亚的希皮奥内·费罗在近三十年前便已发现了这一规则,并将其传给了威尼斯的安东尼奥·马里亚·菲奥尔;而菲奥尔与布雷西亚的尼科洛·塔尔塔利亚的竞赛使尼科洛有机会发现了这一解法。后来,塔尔塔利亚应我的恳求,向我公开了他的发现,但保留了对这一解式的证明。在这一帮助下,我发现了(各种)形式的证明。这是极为艰难的。”

  高斯的墓碑,也是解决规尺作图难题,在2000多年间的一块里程碑。

米兰,又在米兰!十年前,自己在这里打败了菲奥尔一战成名。十年之后,自己是否能打败卡当,再次赢回本该属于自己的一切?“

1684年,牛顿的朋友埃德蒙顿·哈雷,问牛顿能否证明行星的轨道是椭圆的,牛顿说他能,然后哈雷便用尽了千条妙计,最终说服牛顿发表他的论证。三年后结果发表,但这远远超出了解决一个问题的水平。它为将来的一切物理学书籍定下了基调。

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  卡尔达诺在此赞誉了许多人,这种赞誉是公正的。除了塔尔塔利亚以外,人人都感到满意。而塔尔塔利亚则相反,他对卡尔达诺的欺骗和背叛行为大为恼怒。在塔尔塔利亚看来,卡尔达诺违背了他神圣的誓言,他曾以一个“真正基督教徒”的忠诚发誓,但他却是一个不折不扣的恶棍。塔尔塔利亚提笔问罪,但回答他的却不是卡尔达诺(他想凌驾于这场争斗之上),而是顽强忠诚的费拉里。费拉里以其脾气暴躁著称(他曾在一次恶性争斗中失去了几个手指),他激烈地驳回了塔尔塔利亚的指责。一时间,在布雷西亚与米兰之间,火药味十足的信件飞来飞去。例如,在1547年的一封信中,费拉里斥责塔尔塔利亚是一个

  正多边形的作图问题,其实就是等分圆周的问题,它与三等分角问题有不少相似的地方。有了解析几何,有了高斯等数学家的经验,人们对规尺作图可能作出的与不可能作出的图形,逐渐有了深入的认识。其中,下面两个结论是很重要的:

人群的骚动打断了“塔塔利亚”的思绪,对方上场了。令他感到意外的是,来人并不是卡当,而是一个陌生的年轻人。

哈雷慷慨解囊,为牛顿的巨著付印支付了部分费用;他的这一义举最终也以一种非常独特的方式得到了回报,除了对苹果和行星以外,牛顿的理论也可以应用于彗星。其实这正是牛顿本人强调指出的一点,因为彗星的轨道是椭圆的,所以他们一定会一次又一次的回归。

方程一

  “……整天忙于……斤斤计较的人。如果要我报答你,我就给你肚里塞满草根和胡萝卜块,让你一辈子再也咽不下别的东西。”

  1.在规定某一线段的长度是单位长度 1后,如果我们要作的线段的长度,可以由单位长度 1,经过有限次的加、减、乘、除、开平方(指正数开平方,并且取正值)后得出来,那么,这一线段就能用规尺作图法作出;

“我叫费拉里,代表我的老师卡当与你对决!”

后来,哈雷准确预测了一颗特定的彗星再次回归的时间,这颗彗星每隔75-76年就会回归一次,人们现在称它为哈雷彗星。

这个方程,欧拉用肉眼观察的解是

  (最后一句话是双关语,暗指在解三次方程问题中随处可见的数学乘方根。)

  2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方所能作出的线段或者点。

年轻人的声音清脆洪亮,带着满满的自信。有那么一刻,“塔塔利亚”似乎从他身上看到了自己年轻时的影子。

牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动,除非有外力将其停止或者改变其运动方向;

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  1548年8月10日,塔尔塔利亚与费拉里在米兰的一次公开论战使冲突白热化。塔尔塔利亚后来指责卡尔达诺的缺席,说他“避免在论战中露面”是一种怯懦的表现。但是,这场论战是在费拉里的家门口进行的,最后以客座一方的失败而告结束。塔尔塔利亚埋怨观众的喧闹和偏见,而费拉里则当然把事情的结局归功于他自己的智力。但不管怎么说,塔尔塔利亚败下阵去,而费拉里则大获全胜。数学史家霍华德·伊夫斯注意到观众的敌意和费拉里暴躁鲁莽的名声,他说,塔尔塔利亚能够活着逃回去,还算是他的造化。

  举一个例子,要考查圆内接正五边形是否可以作出,我们取圆的半径为

“塔塔利亚”很失望,但他知道,卡当不会来了。这让他感到更加的愤恨和屈辱!他用幽怨地目光盯住面前这位自称“费拉里”的年轻人,仿佛要把一腔怒火都喷射到他身上。

牛顿第二定律称作用在物体上的力等于其动量的变化率;

方程的解

  这些就是围绕着三次方程解所发生的故事,激烈、复杂,而又不免荒唐。现在我们所要做的,就是要讨论作为这一奇特故事核心的伟大定理。 

  101,计算得圆的内接正五边形的一边长为        ,这合乎第一条,所以规

费拉里却似乎满不在乎,他甚至还优雅地作出一个“请”的手势:“请出题!”

牛顿第三定律为:对于任何一个作用力,都存在着一个与它大小相等,方向相反的反作用力。

你也能观察出来。

伟大的定理:三次方程的解

  2尺作图法作圆内接正五边形是可能的。

“塔塔利亚”开始出题了,这是他积蓄了十年的荣耀与苦闷的一并挥洒,是他用生命推演出的代数符。他知道,这是他能发出的最后一击。

牛顿的这三大定律共同解释了所有的力是如何影响一切固体的运动的。

那么,根据韦达定理,已知一个一元多次方程的n个根,方程可以写成这样的形式

  现代读者在阅读《大衍术》第十一章时,会有两点感到意外。其一是卡尔达诺并没有给出解一般三次方程的证明,只列举了一种特殊形式的缺项三次方程,即

  3再举一个例子,取一个线段的长为1,问求作长为 9      3 能吗?

费拉里也出题了,他只在纸上简单地写了几笔,便把它递给“塔塔利亚”。

牛顿真正独树一帜的成就是他运用微积分,把引力定律和他的运动定律结合,从而建立并随之解决了描述行星轨道的方程的能力。当人们不仅可以观察,而且可以预测和控制行星的运动,以及最终可以观察、预测与控制火箭与宇宙飞船的运动的时候,牛顿的物理洞察力与数学工具便一起引导了天体动力学新时代的来临。

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  x3+6x=20

  这里要开三次方,根据第二条规定,规尺作图法只能作出经有限次加、减、乘、除及开平方的线段,看来这条线段作不出。

澳门威斯尼斯人网址,“难道只有一道题目?”,“塔塔利亚”再次感觉被羞辱,他想接过纸条把它揉成一团再仍回到这个可憎的年轻人的脸上,但是,当他瞥见纸上的题目,他脸上的肌肉居然都颤抖了起来!

十二、伟大的探索者:欧拉定理

韦达定理

  我们在以下的讨论中,将采用更一般的形式

  错了!因为

四次方程!——居然是,一元四次方程!

1707年,莱昂哈德·欧拉,生于瑞士。

先看一个三次方程的例子:

  x3+mx=n

  3 9 3

“塔塔利亚”顿时瘫坐在地上,他知道,卡当,这位偷窃者,甚至这位偷窃者的学生费拉里,对三次和四次方程的理解与研析,无疑已经远远超过了自己。他败了,彻彻底底地败了。

1724年,俄国彼得一世成立俄国科学院,并邀请一些外国科学家迁居来到他刚刚落成的新首都。当时,欧拉抓住了这一机遇。在他在俄国居住的,第一段时间里,他在整个欧洲声名鹊起。

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  其二是卡尔达诺的论证是一种纯几何式的,涉及真正的立方体及其体积。实际上,我们只要想一想当时代数符号的原始状态和文艺复兴时期数学家对古希腊几何的看重,疑团便会烟消云散。

  3

他转身幽幽地离去,只听见那位年轻人在背后大声对沸腾的人群说:“我叫费拉里!”

之后,欧拉,又接受了来自普鲁士皇帝菲特烈二世的邀请,成为设在柏林的科学院的成员。那个时候他已经是一位能力达到巅峰的成熟科学家。他重启了数论研究;再次证明了费马声称他已经证明了的绝大部分定理;他找出了让牛顿运动定律适用于流体的方法,他所得到的方程至今仍被称为欧拉的流体力学方程。

三次方程

  本书用卡尔达诺自己的语言阐述了《大衍术》第十一章的重要命题,并附上了他对三次方程的巧妙分析。他用文字叙述的解三次方程的“法则”初看非常混乱,但如果用一种更常见的代数方法重新演算一遍,就会发现卡尔达诺的规则是正确无误的。 

  根据第一条,这条线段能作出。你如果有兴趣,不妨一试,把这一线段作出来。

他仿佛听见,那是十年前的自己,在对众人说:“请叫我,尼可洛.方塔纳”。

后来,他又接受了俄国女皇卡特琳娜二世的邀请重返俄罗斯。

左边展开以后,x的系数是多少呢?显然是

定理 解x3+mx=n的法则: 

  这两个例子说明,要证明一条线段能作出要容易些,要证明一条线段不能作出却困难得多。

数年之后,“塔塔利亚”在孤独忧郁中死去。在他去世很久以后,终于有一些人想起了《大术》里面卡当的那一段描述,为了纪念他,而把三次方程的求解公式称为:“卡当——塔塔利亚公式”。

直到200年后数学家们仍然对他有着崇高的评价。在1988年,《数学信使》杂志组织了一次推选史上最优美数学定理的投票,而中奖名单的前5名中有4项定理,都是由同一个人证明的,他就是:莱昂哈德·欧拉。

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  用x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方;求这整个算式的平方根。复制(重复)这一算式,并在第一个算式中加上方程常数的一半,从第二个算式中减去同一数的一半……然后,用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根,其差即为x的值。

  但是,标准有了,三大作图难题的解决就提上日程了。

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阅读感想:

系数

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  1837年,23岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角,不可能用规尺作图法解决的证明,宣布了2000多年来,人类征服初等几何三大难题夺得了重大的胜利。

阅读到这个第二部分,关于公式我已基本不理解了。我只能看看数学的发展了。这么枯燥的内容,文章却写得很生动!

也就是说,x的一次幂的系数是:所有的根的倒数和乘以所有根的乘积。而所有根的乘积就是方程的常数项。
如果是偶数个根,添加一个负号。

证明 卡尔达诺设想了一个大立方体,其边AC的长度,我们用t来表示,如图6.1所示。AC边于B点截取线段BC,其长度为u,则线段AB的长度为t—u。这里的t和u都是辅助变量,我们必须确定它们的值。如图所示,大立方体可以分为6部分,各部分的体积我们确定如下:

  我们知道,虽然有些角 (例如直角)查以用规尺作图法三等分,但是有些角不可以(例如30°角),所以要按规尺作图法三等分任意给定的角,就不可能了。


从上面展开式中,看到,方程的常数项正好是1。一次幂的系数是3的阶乘的相反数。那么,所有根的倒数和就是1/6。

  ■ 前下角小立方体的体积为u3

  事实上,在1830年,19岁的法国数学家伽罗华,就提出了解决这一类问题的系统理论和方法,所以现在的专门著作,一般着重讲伽罗华理论,而把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决,当成这种理论的推论、例题或者习题。因此,后来对万彻尔的工作,并不十分注意。

【我在参加文魁大脑读书会2016年阅读年挑战计划,本年度我要阅读书籍70-100本,请大家监督。每周没有完成的,发微信红包150元,一年没有达标70本的,再发微信红包2000元。】

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  ■ 后上角较大立方体的体积为(t-u)3

  五次方程的挑战

根的倒数和

  ■ 两个垂直板块,一个沿AB向前,另一个沿DE向右,每一个长方体的边长分别为t-u、u和t(大立方体的边长),因而,每一个长方体的体积分别为tu(t-u)

  初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词,是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词,是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起,先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年,李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》,是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。

因此,顺理成章,有:

      ■ 前上角细长的长方体,其体积为u2(t-u)

  前面已经说过,解析几何的出现,使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此,规尺作图三大难题的解决,同代数方程的解挂上了钩。

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  ■ 在后下角,即较大立方体的下面,有一个扁平的立方体,其体积为u(t-u)2

  公元三世纪的希腊数学家丢番都和九世纪的阿里·花拉子模,都求得二

倒数平方和

  显然,大立方体的体积t3等于这6个小立方体的体积之和,即

  2次方程ax bx c=0的解为

同他的老师一样,欧拉不会仅仅满足于求到倒数的平方和,他还要求立方和,4次方和,5次方和...直到找到最普适的公式。

  t3=u3+(t-u)3+2tu(t-u)+u2(t-u)+u(t-u)2

  x                      2a

且听下回分解。

  对方程式中的各项做一些整理,即得到

  但是,很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人,原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时,方程才能算有解,并且丢番都只承认正根。

  (t-u)3+[2tu(t-u)+u2(t-u)+u(t-u)2]=t3-u3

  到了16世纪,意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利,相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明,公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究,几经转折,为塔尔利亚完全掌握,在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的,但六年后,卡尔丹给出证明发表了。数学界称这个公式为卡尔丹公式。

  从方括号中提取公因数(t-u),得

  由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程,都能通过根式求它的一般解,于是很多数学家,争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪,直到19世纪初,很多数学家和数学爱好者,都把它作为检验自己才能的试金石,可是毫无例外,他们都失败了。

  (t-u)3+(t-u)[2tu+u2+u(t-u)]=t3-u3或简化为

  根式解法虽然没有找到,可是人们却积累了很多的经验和知识,特别值得一提的,是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作,而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程,是不可能解决的问题之一。可是,他对不可能没有给出什么证明,他就这个问题的困难性说:“它好像是在向人类的智慧挑战。”

  (t-u)3+3tu(t-u)=t3-u3 (*)

  人类的智慧终于夺得了胜利。

  (现代读者会注意到,这一方程式可以用简单的代数方法直接推导出来,而无需借助于神秘的几何立方体和板块。但1545年的数学家们还不可能采用这种方法。)

  在拉格朗日去世后11年的1824年,挪威22岁的数学家阿贝尔,证明了一般五次以上的代数方程,它们的根式解法是不存在的。这就是说,除了某些特殊的五次以上的方程,可以用根式解外,许多五次以上的方程,把它的系数看成字母,无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式,都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界!

  (*)方程式很容易使我们联想起最初的三次方程式的形式x3+mx=n。也就是说,如果我们设t-u=x,则(*)方程就变为x3+3tux=t3-u3,然后,我们再设

  阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解;另一方面也可以举例证明,有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解的方程,到底用什么来判断呢?阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱,在27岁上,就害痨病死了。

  3tu=m和t3-u3=n

  科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年,完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促,只活了 21岁。

  现在,如果我们能用原三次方程式中的m和n来确定t和u的值,那么,x=t-u就能够推导出我们所求证的定理。

  抽象代数学的诞生

  但是,《大衍术》没有推导这些量的值。相反,卡尔达诺直接提出了求解前述“三次方加一次方等于常数”的法则。要明确译解他纯用文字表达的解题方法绝非易事,这就使人更加赏识现代代数公式这种简明而直接的解题方法。卡尔达诺在这一段文字中究竟讲的是什么意思呢?

  伽罗华于1811年10月26日,出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他从16岁起,就致力于五次以上方程的根式解法的研究。

  首先,我们来看他对t和u所规定的两个条件,即

  伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作,有深入的学习和了解;而且对同时代的数学家阿贝尔等的成果,也有研究和认识。他是在前人的基础上,走上一条崭新的道路的。

  3tu=m和t3澳门威斯尼斯人网址欧拉是如何计算圆周率的,数学天才之路。-u3=n 

  1828年,17岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论文,把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院,要求审查。

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  那年6月1日,在法兰西科学院的例会上,曾决定由当时的大数学家柯西与波阿松,审查这位中学生的论文。但是,那位法国和世界最有名望的大数学家之一的柯西,根本不重视这件事,他把伽罗华的论文给弄丢了。

将方程两边分别乘以t3,经整理后,就得到方程

  伽罗华还在继续研究。1829年,他又写了一些重要论文,于1830年第二次把论文提交法国科学院审查。这一回,科学院决定由著名的数学家富里埃审查。可是62岁的富里埃,就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃的审查意见,而且在他的遗物中,没有找到伽罗华的论文,显然是又弄丢了。伽罗华曾对此提出了意见。

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  幸好,第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波阿松,注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况,劝他重写一份。1831年,伽罗华把重写的论文,第三次交给法国科学院。

  初看似乎并没有什么改进,因为我们把原来x的三次方程变成了t的六次方程。然而,后者却可以看作变量t3二次方程:

  热心的波阿松,亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月,可是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上,说自己“完全不能理解”。

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  当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解,怎么办呢?看来,伽罗华应该把自己的论文写得通俗一些,详细一些。

  而数学家早已掌握二次方程的解法,我们在前一章的后记中也讲到过这一点。现在,我们可以解出这个二次方程:

  但是,伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因为他是一个忧国忧民的青年,正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。

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  当时法国的形势是这样的:1830年六七月间,国王查理一世因为违反和破坏了宪法,被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼,后门进虎,“波旁王朝”被推翻,奥尔良公爵路易——菲力浦,却趁机当上了国王,建立了“七月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。

  然后,只选取正平方根,我们就得到

  和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候,很少有人认为他是“天才”或者“神童”什么的。后来,人们谈起伽罗华来,有的老师说:“他没有智慧,不然就是他把他的智慧隐藏得太好了,使我简直没法子去发现它。”有的老师干脆说:“他什么也不懂。”

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  当时,巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工科大学,但是两次都没考上。在第二次考工科大学时,他也考了高等师范学校,幸好考取了。1830年,19岁的枷罗华,进入高等师范学校学习。就在这年的7月,路易—菲力浦篡权上台。

  我们还知道u3=t3-n,据此,我们得出

  生气勃勃的伽罗华,是个激进的共和主义者,他和他的战友向篡夺政权的路易——菲力浦王朝,展开了激烈的斗争。

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  这年12月,入学不久的伽罗华被学校开除了。

  最后,我们就得到了用代数式表达的卡尔达诺解缺项三次方程x3+mx=n的法则,即

  被开除后,伽罗华以为人补习数学为业,但他的革命斗志更旺。1831年六月,他被捕了,罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据,只好释放了他。但是紧接着在七月间,伽罗华第二次被捕,并且被投入监狱,一直关到了1832年春天,因为监狱里流行传染病,才把他释放出狱。

  x=t-u

  半年多的监狱生活,使这个21岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐姐回忆说,那时伽罗华面色憔悴,两眼发呆,活像一个50岁的老头。

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  出狱后一个月,反动派设下圈套,让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个反动军官决斗,被击中致命处,第二天——1832年5月31日早晨,不满21岁的伽罗华离开了人世。

  这一方程式就叫做缺项三次方程的“根式解”或“代数解”。也就是说,这一解式只涉及了原方程的系数(即m和n),而且,代数运算一般也只限于加、减、乘、除和开方。再深入一些的研究表明,这一公式与卡尔达诺用文字阐述的“法则”结果完全相同。

  伽罗华短促的一生,像一闪而过的明星,照亮了近世代数学前进的道路!

  卡尔达诺论证中的最精彩之处在于他用相关的(t3的)二次方程解替代了三次方程解,并从而发现了将方程降低“一次”的方法,这样,他就从生疏的三次方程进入了熟悉的二次方程。这一非常巧妙的方法开辟了解四次、五次和更高次方程的道路。

  在决斗前夕,伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件,托朋友转交《百科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后4个月发表了,但是没有引起人们的重视。

  例如,卡尔达诺用这种方法解出了他的原型方程x3+6x=20。按照

  伽罗华在他仓促写成的信中,希望他的朋友把他的研究成果交给当代的大数学家,信末有这样的话:“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这些定理的真实性,而是对于其重要性表示意见。在这以后,我希望有一些人将会发现,把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查,这些资料在当时并没有交给这两位数学家。

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  在伽罗华逝世后14年的1846年,法国数学家柳维勒,从伽罗华的弟弟那里得到了一些伽罗华的手搞,并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志上。从此,伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后,人们又从伽罗华的姐姐、弟弟那里,搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到80页的手稿,是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上,开始注释、追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。

  然后,他求出常数项一半(即20的一半)的平方,得100,再加上8,其和为108,求出这个数的平方根。他再用这个平方根加上和减去常数项的

  到19世纪晚期,伽罗华所开创的数学工作,逐渐形成了数学的一个重要的分支——近世代数学,又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学的主要内容,所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容,包括群论、环论、域论、布尔代数,以及共他代数系统的重要理论。这些理论,是近世代数学的伟大成就,并且在科学技术中有广泛的应用。

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  伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论,使得五次以上的代数方程,不可能有一般的根式解,初等几何作图三大难题,以及高斯关于正多边形作图的定理等等,都不过是一些明显的推论或者简单的例题、习题了。

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  今天,大学生在学了伽罗华理论后,稍带就证明了三等分角、立方倍积与化圆为方,是规尺作图的不可能问题。

  当然,我们可以简单地用m=6和n=20代入有关代数式,就得到 

  在规尺作图三大难题中,化圆为方问题是最后得到解决的。

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  根据伽罗华理论,如果π是超越数,那么,化圆为方是规尺作图的不可能问题。可是,数学家拖了很长的时间,才证明了π是超越数,这就相应地推迟了化圆为方问题的解决。

  显然,这是一个“根式解”。令人感到意外的是,正如卡尔达诺所正确指出的那样,这一貌似复杂的方程式实际上只不过是数字“2”的伪装而已,用计算器不难验证这一点。人们已经看出,x=2确是x3+6x=20的解。 

  什么是超越数?这个概念,首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之,计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。π的值这样算下去,它是有尽小数呢?还是无穷小数?如果是无穷小数,那么,是不是循环小数呢?如果能证明π是不循环的无尽小数,那就是无理数了。

有关解方程的其他问题

  无理数有不同的情况。像 2是x2   - 2 = 0的根,

  我们注意到,在知道了三次方程的一种解法后,就可以据此去发现一些其他类型的解法。例如,因为x=2是上述方程的解,而且,我们知道x-2是x3+6x-20的一个因式,经过长除后,就可以得到另一个二次方的因式。因而,x3+6x-20=(x-2)(x2+2x+10)。这样,解原三次方程的问题就变成了解一次方程和二次方程

  7 代数方程。的实数,叫做代数数;凡不是代数数的实数,都叫做超越数。

  x—2=0和x2+2x+10=0

  由此可见,超越数必然都是无理数;但是一个无理数是不是超越数,那就需要证明了。人们发现,要证明π是一个无理数并不太困难,要证明π是一个超越数,却是一个很难的题目。

  这样简单的问题。(因为此二次方程无实数解,所以,原三次方程只有一个实数解x=2。)

  直到1882年德国数学家林德曼才证明了π是超越数,使方圆问题是规尺作图的不可能问题,得到证明。

  对于现代读者来说,《大衍术》接下来的两章似乎是多余的。卡尔达诺第十二章的标题是“论三次方等于一次方加常数”(即x3=mx+n),第十三章的标题是“论三次方加常数等于一次方”(即x3+n=mx)。今天,我们认为,这两种形式的三次方程完全可以包括在上述方程式中,因为我们可以使m和n为负数。但是,16世纪的数学家却要求方程的所有系数都必须是正数。换句话说,他们认为,x3+6x=20与x3+20=6x不仅形式不同,而且是本质上完全不同的两种方程。由于卡尔达诺是以三维立方体的概念来看待三次方程的,所以,在他看来,立方体的边长为负数是没有意义的,因而,他们对负数项持否定态度就不足为怪了。当然,避免采用负数项就会使方程的种类增多,按照我们今天的看法,不必要地拉长了《大衍术》的篇幅。

  到此,初等几何三大难题全部彻底解决。

  这样,卡尔达诺能够解三种形式的缺项三次方程中的任何一种。但是,对于ax3+bx2+cx+d=0这种一般形式的三次方程又当如何呢?卡尔达诺的伟大发现在于,通过适当的置换,可以将这一方程转换为相关的缺项三次方程,当然,必须要符合他的公式。在讨论三次方程的这一“缺项”过程之前,我们不妨浏览一下一种更熟悉的解题方法——即应用于解二次方程的方法:

  这三大难题,从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起,到 19世纪末叶,前后经历了2000多年。在全世界的几十代人的努力中,不知有多少人为它绞尽脑汁,熬尽心血,吃尽苦头,耗尽精力,才夺得最后的解决。

  我们首先设二次方程的一般形式为

  这真是得来不易的胜利啊!

  ax2+bx+c=0这里a≠0

  “虚幻之数”

  为了使之缺项——即消去一次项,我们引入一个新的变量y,用x=y-

  要让人类接受到一种新数,开始往往是非常困难的,甚至还曾经有人为此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命,但是也在好几个世纪中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话,他说:“负数比无穷大还要大”,连后来的大数学家欧拉,也对此深信不疑!直至19世纪时,有些数学家如德·摩根、马塞勒还说负数“十分荒唐”,主张把它“从代数里驱逐出去!”

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  正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的时候,新的问题又来了,他们遇到了一种更为奇怪的数,就是负数开平方。

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  比如解方程x2 1= 0,移项得x2 = -1最后解出x 儿当然指的是实数)的平方能够等于- 1呢?   最初遇到这种数的人,是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的,却是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法获得者之一的卡丹。卡丹在1545年提出一个问题:“把10分成两部分,使它们的面积是40。”

  然后,消去by项,就得到缺项二次方程

  2他列出方程x(10-x)=40整理后得x-10x 40=0,结果解出这两个根是5 嘲地说:“尽管我的良心会受到多大的责备,但是,的的确确5 5   差不多过了100年,1637年,解析几何的创始人笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”(和“实数”相对)。又过了140年,大数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”,并且用i(imaginary虚幻)来表示它的单位   牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力,给虚数找到了一个更巧妙的“解释”“假设某人欠别人10亩地,即他有-10亩,而这-10亩地又恰好是个正方形,那么它的边长不就是   最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话:“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示,这就是那个理想世界的端兆,那个介于存在与不存在之间的两栖怪物,那个我们称之为虚的-1的平方根。”看,虚数竟成了上不着天、下不着地的“两栖怪物”!

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  虚数从开始出现以后,经过了两个世纪,还是得不到人们的正式承认。

  因此

  大家都知道,把一个实数和一个纯虚数相加,得到形式如a bi的这种数,叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这种数有点虚无缥缈,但又觉得它很有可爱之处。你看,如果不承认这种数,代数方程便有的无解,有的一个解,有的两个解……五花八门,毫无规律可言;如果承认了它,代数方程就都有解,而且n次方程不多不少恰好有n个解!此外,对复数进行代数运算,其结果还是复数(实数和纯虚数只是复数的特例),这样便形成了一个完整的数域。

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  复数既然有这么多的“优越性”,为什么数学家对它总是疑虑层层、迟迟不接受呢?直至19世纪中期,剑桥大学的教授们仍然抱着“厌恶”的心情,对它进行抵制。简单点说,就是因为这种数“看不见”,同时也“用不上”,缺乏实践的基础。

  最后

  为此立功的是挪威测量学家末塞尔,他找到了复数的几何表示法。众所周知,所有实数都可以用直线上的点来表示,正数用0右边的点来表示,负数用0左边的点表示;无理数如 2 ,可以用单位边长的正方形的对角线长度来表示。因为“看得见”,大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现,所有复数a bi都可以用平面上的点来表示,而且复数a bi与平面上的点一一对应。这样一来,复数就找到了一个“立足之地”,而且开始在地图测绘学上找到了它应用的价值。

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  同时,数学家又找到了复数的三角表示法r(cosθ sinθ),其中r叫

澳门威斯尼斯人网址欧拉是如何计算圆周率的,数学天才之路。  这样就再现了解二次方程公式。

  Q做复数的模,θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法re(e表示自然

  这个例子说明,多项式的降次方法是非常有用的。了解了这种方法以后,我们再回到卡尔达诺解一般三次方程的问题上来。在这里,关键的替

  Q对数的底)。即复数z=a bi=r(cosθ isinθ)=re。若令r=1,θ=π,就

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  in    iπ可以得到e=1,即e -1=0,这个著名的式子是欧拉得到的,它把数学中五个最重要的数1,0,i,π,e溶为一体,被誉为整个数学中最卓越的公式之一。

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  复数在几何上找到了它的位置以后,人们对它就另眼相看了。从18世纪末起,以欧拉为首的一些数学家,开始发展一门新的数学分支,叫做复变函数论。大家都学过函数,但在中学里,函数自变量的取值范围仅限于实数。如果把函数自变量 z的取值范围扩大到复数,那么这种函数就叫做复变函数。即复变函数W=f(z),其中z,W都是复数。

  展开后,成为

  一个复数如果可以表示为平面上的一个点,那么自变量z的取值范围就是平面上的一个点的集合,相应的函数W的取值范围却是另一个平面上的一个点的集合。从几何角度来看,所谓复变函数,就是把甲平面上的一个图形A(点的集合)变换成乙平面上的一个图形B(也是点的集合)。研究复变函数性质的这一门科学,就是复变函数论。19世纪以后,由于法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献,复变函数论取得了飞跃的发展,并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门取得重大成就的,是俄罗斯的“航空之父”儒可夫斯基。

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  尼古拉·叶哥洛维奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄国弗拉基米尔省,21岁毕业于莫斯科大学的应用数学专业。他具备多方面的才能,特别在航空专业方面很有造诣,后来就专门从事飞行的研究。

  对这一堆字母,我们需要做的一件重要事情就是消去y2项。这样,新的三次方程(正如我们所希望的那样,)就没有了二次项。如果我们用a去除各项,就得到y3+py=q这种形式的方程。我们可以用卡尔达诺的公式

  1890年,儒可夫斯基在俄国自然科学家会议上作了《关于飞行的理论》的演说。第二年便写出了有名的关于飞行的著作《论鸟之飞翔》。他在长期的观察和研究过程中,发现了鸟类飞行的许多奥秘,即作出了一个大胆的预言:飞机可以在空中“翻筋斗”,当时不少人对他的预言都持怀疑态度,根本没有哪一个飞行员敢于冒险去尝试。十多年以后,陆军中尉聂斯切洛夫做了世界上第一次飞机空中“翻筋斗”的飞行动作,以后这种特技飞行就称为

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  “聂斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的预言被证实了,他的预言就是根据复变函数的理论计算出来的。

  为了更清楚地说明这一过程,我们来看三次方程

  在儒可夫斯基生长的时代,飞机刚刚飞上了天。飞机为什么能飞上天,它应该怎样设计,怎样改进,这一切一切找不到可靠的理论根据,全凭实验来摸索,特别是无法运用数学这个有力工具。由于盲目的实践,所以成功的机会很少,失败的时候居多。一般的科学家都认为,飞行这门学问只能以实验为基础。莫斯科航空学校校长勃劳茨就曾经说过:“要想依靠数学来建立航空学的某些定律,是很危险的事情。”

  2x3-30x2+162x-350=0

  儒可夫斯基却不相信这一套。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子,于1906年(就是莱特兄弟的飞机飞上天空后的第三年)发表了论文《论连接涡流》,成功地解决了空气动力学的主要问题,创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理,并找到了计算飞机翼型的方法。这一切的成就,都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”,以及由它延伸出来的复变函数论。

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  儒可夫斯基翼型,依赖于有名的儒可夫斯基变换,这是一个公式线性的复变函数

  2(y+5)3-30(y+5)2+162(y+5)-350=0

  1   a2

  整理后,成为

  W                   2   z

  2y3+12y-40=0或简化为y3+6y=20

  其中z为自变量,W为函数a是一个常数。前面说过,当自变量z的取值范围是平面上一个点集时,函数W的取值范围是另一平面上的一个点集。复变函数z平面上一个图形A变换成W平面上的一个图B(这种变换又称为

  显然,这就是我们前面所解过的缺项三次方程,因而我们知道y=2。所以,x=y+5=7,并可以此验证原方程。

  “转绘”)。上述儒可夫斯基变换,能把z平面上以P(P不在坐标轴上)为圆心的圆,变成W平面上飞机翼型的截面图。这个翼型就是有名的儒可夫斯基翼型。

  但是,《大衍术》在论证解一般三次方程问题时,却远非我们这样简洁。由于卡尔达诺要求所有系数都只能是正数,他就必须跨越一连串艰难的障碍,诸如,“三次方加二次方加一次方等于常数”、“三次方等于二次方加一次方加常数”、“三次方加常数等于二次方加一次方”,等等。终于,他在解出缺项三次方程后,又用了13章的篇幅才完成了这一论证,从而解决了解三次方程的问题。

  实际上,儒可夫斯基从理论上提出的这个翼型,要想完全照样制作是比较困难的。实际使用的翼型是根据实验而描出的经验曲线制作的。但是,由于这种理论上的翼型能够用解析式完美地表达出来,对具有这种假想翼型的飞机性能就可以作充分的计算或估计,然后把计算的结果和实际的翼型作比较,就可以为设计出各种优良翼型提供资料。总之,有了理论的翼型,就可以指导我们的实践,在制作翼型的过程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程学上有着重要的意义,从而为从事这项工作的人们所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理论基础》被译成法文,成为航空工程师和飞机设计家的必备手册。

  但果真解决了吗?虽然卡尔达诺的公式似乎是一个惊人的成就,但它却带来了一个重大的谜。例如,我们来看缺项三次方程x3-15x=4。

  然而,另外有一个中学老师声称也会解三次方程,他便是塔塔利亚。

  用m=-15和n=4代入上述公式,我们就得到

  塔塔利亚是16世纪意大利著名的靠自学成才的数学家,为三次方程求解做出了杰出的贡献。

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  塔塔利亚原名方塔那,出生于意大利北部的布里西亚,父亲在邮局任职。他幼年时,正值意大利与法国交战。有一次父母带他逃到天主教堂避难。法军闯进教堂,杀死他的父亲,方塔那的头部也受了重伤。是母亲在尸骸堆中找到他,由于伤势过重,加上神经受到刺激,伤愈后说话不灵,吐字不清,于是得了个绰号叫“塔塔利亚”(意大利语,结巴之意)。后来他就以此绰号为笔名发表文章。

  如果说16世纪的数学家对负数持怀疑态度,则负数的平方根显然就是绝对荒谬的,当然可以将其作为不可解的三次方程而予以排除。然而,对于上述三次方程来说,却可以很容易验证出它有三个不同的和完美的实数

  塔塔利亚由于幼年丧父,家境贫寒。因而经济拮据,没钱买文具纸张,母亲就把丈夫坟墓上的青石碑当做石板,教孩子在上面写写画画,认字学算术。小塔塔利亚天资智慧,勤奋刻苦,在数学上很有造诣,成年后就在意大利各地教授数学并以此来维持生活。他曾将欧几里得的《几何原本》译成意大利文,还发表了不少军事科学著作和数学论著,特别是成功地把数学理论应用于动力学中,对后来成为世界著名的物理学家的伽利略有着重要的影响。

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  1530年,布里西亚一位中学数学教师科拉向塔塔利亚提出了两个挑战性的问题:

  ——所谓“三次方的不可约情形”呢?他也曾对我们今天称之为“虚数”或“复数”的情况进行过几次不太认真的研究,但最终还是全部放弃,因为它们“既捉摸不透,又没有用处”。

  第一,试求一个数,其立方加上它的平方之二倍等于5(即求满足方程

  大约又经过了一代人的时间,拉斐罗·邦贝利(约1526-1573年)出现了,他在1572年的论文《代数》中迈出了勇敢的一步,他将虚数看作是运载数学家从实数三次方程到达其实数解的必要工具;也就是说,我们从熟悉的实数领域出发并最终回到实数,但中途却不得不进入一个我们所不熟悉的虚数世界以完成我们的旅程。对于当时的数学家来说,这似乎是不可思议的。

  3x 3x2=5的x值)。

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  第二,试求三个数,其中第二个数比第一个数大2,第三个数又比第二个数大 2,三数之积等于 1000[即求解方程 x(x 2)(x 4)=1000,

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  3 2x 6x 8x=1000]。

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  当时,类似这样的三次方程都在数学界的禁区之内,没有人敢去问津。塔塔利亚出于好奇心,跃跃欲试,经过一番推演,居然得出了答案,即:

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  1

  答案正确!

  x       2

  大家公认,邦贝利方法所提出的问题远远超出了他所解的问题。例如,

  3

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  64            64

,莱昂哈尔德·欧拉才找到了一个发现复数根的可靠方法。此外,究竟什么是虚数,虚数的性质是否与实数相同呢?

  x                27            27

  诚然,复数的重要性直到200多年以后的欧拉、高斯和柯西时代才充分地显现出来,我们将在第十章的后记中详细介绍这个问题。尽管如此,邦贝利承认了复数在代数中的作用,应当得到赞誉,他因此成为16世纪最后一位伟大的意大利代数学家。

  塔塔利业求出了这两道题的实根后,并没有公布自己的解法。但从此以后,塔塔利亚在数学领域便开始崭露头角。

  这里应强调一点。与人们普遍认为的相反,虚数不是作为解二次方程

  费罗的学生菲俄听说塔塔利亚解出了科拉的三次方程,心中很不服。他和塔塔利亚约定,于1535年2月22日在米兰市大教堂进行一场公开的数学竞赛。当塔塔利亚得知菲俄是费罗教授登堂入室的弟子时,心想,竞赛时菲俄难免会拿三次方程来为难自己,切不可掉以轻心。于是,他苦心钻研三次方程的解法,昼夜不停的运算,却毫无进展。比赛日期渐渐迫近,塔塔利亚心急如焚、惶恐不安。2月11日,他伏案通宵,钻研到第二天早上。当他走出户外呼吸一口新鲜空气的时候,多日冥思苦想得不到解答的问题,竟豁然开朗,终于找到了进一步解决三次方程的办法。塔塔利亚回忆说:“我运用了自己的一切努力、勤勉和技巧,以便取得解这些方程的法测。结果很好,我在规定的期限前十天,即2月12日,就做到了这点。”

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  2月22日,米兰的大教堂热闹非凡,大家都等着看竞赛。比赛开始了,

的关键作用,就不能如此漠然置之了。因此,是三次方程,而不是二次方程,给了复数以原动力和它们今天无可争辩的合法地位。

  3双方各出了30个三次方程的题目,其中包括x mx=n类型的方程。这些难题,使前来观阵的人们无不摇头咂舌,迷惑不解。可是,不到两个小时,塔塔利亚便出人意料地宣布,30个题已全部解答出来了。众人瞠目结舌,心中却是赞叹不已。然而菲俄却一筹莫展,一道题也未解出。最后塔塔利亚以30∶0大获全胜。

  我们还应对《大衍术》作最后一点评论。在其第三十九章中,卡尔达诺用文字说明了解四次方程的方法:

  消息一经传出,极大地震惊了数学界。塔塔利亚在获胜之后,再接再励,继续钻研。终于在1541年得到了三次方程的公式解,打开了僵持了700多年的局面。

  “还有另外一个法则,并且,比前一个法则更为壮观。这就是卢多维科·费拉里提出的法则,他应我的要求,将其发现交给了我。根据费拉里法则,我们可以求出所有四次方程的解。”

  一般一元三次方程的形式如

  这是一个非常复杂的程序,其中两个关键性的步骤很值得一提:

  b

  1.设一般四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0,代入x=y-

  y3 by2  cy d = 0,设y                    3

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  b2   2b3  bc

  y4+my2+ny=p

  x3         3    27   3

  2.通过巧妙地引入辅助变量,就可以用相关的三次方程替代原四次方程,然后,可以用上述方法解出这个三次方程。在这里,费拉里再次采用了经验的做法,即用降幂的方法解出一定次数的方程。

  b 2   2b3  bc

  那些有能力阅读这一定理及《大衍术》中所有其他发现的读者,掩卷之后势必感慨万端。解方程的艺术达到了新的高度,而卢卡·帕西奥利当初认为代数不能解三次方程(更不要说四次方程了)的观点已被彻底粉碎。无怪乎卡尔达诺在《大衍术》结尾时热烈而动情地写道:“用五年时间写就的这本书,也许可以持续几千年。” 

  令p         2    27   3

后记

  3 2

  卡尔达诺-费拉里著作中一个悬而未答的问题是五次方程的代数解。他们的努力显然表明,五次方程的根数解是可能的,并且,他们对如何开始解五次方程给了一个明显的提示。即,对于五次方程

  得新方程:x px q=0(1)

  ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0 

  在此,只须研究这样类型的三次方程就行了。

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  卡尔丹的办法,是引入两个新变量t与u。

  y5+my3+ny2+py+q=0

  令         tu

  然后,寻找某些辅助变量,使之降为四次方程,而我们已经知道求四次方程根数解的方法。这一论证之所以特别引人注目,不仅因为它酷似成功地解三次方程和四次方程的方法,而且还因为,众所周知,任何五次(或任何奇次)多项式方程都必定至少有一个实数解。这是因为奇次方程的曲线看起来很像图6.2中所示五次方程的曲线。也就是说,这些曲线随我们沿x轴方向移动而不断升高,但当我们向相反方向移动时,则曲线不断下降。因此,这种函数必定在某些点上为正值,而且,必定在另外一些点上为负值。所以,利用一种称为介值定理的方法,我们可以说,这条连续曲线一定会在某一点上与x轴相交。在上述五次方程曲线图上,c就是这样一点,因此,x=c就是方程x5-4x3-x2+4x-2=0的解。同样的道理,任何奇次多项式方程都(至少)有一个实数解。

  3

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  2             2       2   p  3

  然而,虽然介值定理表明了五次方程实数解的存在,但却不能明确地确定它们的值。因而,费拉里之后的代数学家们所努力寻求的就是这样一个解五次方程的标准公式。

  (2 ) 4 (3)则为:(t                               3

  但是,在这方面的所有努力都失败了。一个世纪过去了,又一个世纪过去了,仍然没有一个人能够求出五次方程的“根式解”。尽管后来的数学家们发现,可以将一般五次方程变换成这样一种形式

  化简得:(t                  3

  z5+pz=q

  2   p 3

  如果我们称以前的方程为“缺项方程”的话,则这一个方程就应称作“完全缺项”方程。甚至就是这样一个高度简化了的五次方程,也同样无人能够攻克。这即使算不得难堪,至少令人沮丧。

  即t             3

  1824年,年青的挪威数学家尼尔斯·阿贝耳(1802—1829年)发现,不可能用代数方法求出五次或更高次方程的“根式解”,他的发现使数学界为之震惊。总之,寻找五次方程根式解从一开始就注定了必然失败。我们可以在D.E.史密斯的《数学史料集》中找到阿贝耳的证明,这一证明非常复杂,很难读懂,但它确实是数学史上的一座里程碑。

  (2)与(4)联立,可得:

  值得注意的是,阿贝耳的证明是模棱两可的。他并没有说,所有五次方程都是不可解的,因为我们显然可以解出像x5-32=0这样的方程,其解无疑是x=2。并且,阿贝耳并没有否认我们可以有不同于加、减、乘、除和开方这些代数方法的方法解出五次方程。的确,一般五次方程能够用一种称为“椭圆函数”的方法解出,但这种方法比初等代数要复杂得多。而且,阿贝耳的证明也没有排除我们按照我们(或计算机)所要求的精度求出五次方程近似解的可能性。

  u

  阿贝耳的论文只是证明了不存在一种代数公式,可以只用原五次方程的系数作为方程解的可靠生成元。同样,解二次方程类似的二次公式和卡尔达诺解三次方程的公式也都不存在——不可能找到一种普遍有效的方法来确定五次方程的根式解。

  这里t、u只取正根。

  这种情况不由使人联想起化圆为方的问题,在这两个问题上,数学家都受到了他们所用工具的局限。对于我们在第一章中所讲到过的化圆为方问题,圆规和直尺显然无力完成这一重任。同样,“根式解”这一限制也阻碍了数学家寻求五次方程解的努力。我们所熟悉的代数算法没有能力驯服像五次方程这样的猛兽。

  卡尔丹用几何方法证明:x   即为方程(1)的一个解。我们可以用牛顿二项式定理验证(6)式成立:

  我们似乎已处于一种矛盾的边缘,虽然数学家们知道五次方程一定有解,但阿贝耳却又证明用代数方法不可能找到方程解。而正是“代数”这一修饰词使我们免于逸出这一边缘,跌入数学混乱之中。实际上,阿贝耳展示的正是代数这种非常明确的局限性,就在我们从四次方程转向五次方程的时候,这种局限性凭空出现了。

  x3

  因此,实际上,我们绕了一个大圈,又回到了原处。卢卡·帕西奥利的悲观看法,虽然因16世纪的发现而遭人冷淡,但却不幸而言中。一旦我们越出四次方程的范围,代数便丧失了它的显赫。

  3

  q

  3

  3

  即证明x px q=0

  将 (5)、(6)式结合起来可得到:

  q   q 2   p 3    q   q 2   p 3

  x        2   2    3     2    2    3

  这就是塔塔利亚——卡尔丹公式。它又可以化简为:

  3   q    3   q

  x        2       2

  这里D         2   3

  D>0时,有一实根二虚根。D<0时,有三个实根。D=0时,若P=q=0,有三重零根;若(q)2              2    3

  三次方程(1)应当有三个根,但卡尔丹只求出实根,是不完全的。直到

  21732年欧拉才得到求出全部根的方法。如果ω、ω 表示1的两个立方虚根,

  2即方程x x 1=0的两个根,则t和u的立方根写全了分别应为:

  3  3   2 3   2  3   3   2

  t , tw  ,  tw 和 uw ,   uw

  这样,方程 (1)的全部根应为:

  q      q

  x    1   2      2

  x    2    2       2

  X     3     2       2

  b

  最后,由前设y              3

  中国剩余定理

  在我国古代劳动人民中,长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”,甚至远渡重洋,输入日本:

  “三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,

  七子团圆正半月,除百令五便得知。”

  这些饶有趣味的数学游戏,以各种不同形式,介绍世界闻名的“孙子问题”的解法,通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。

  “孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题,它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说:有物不知其数,三个一数余二,五个一数余三,七个一数又余二,问该物总数几何?显然,这相当于求不定方程组

  N=3x 2,N=5y 3,N=7x 2

  的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价于解下列的一次同余组:

  N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)

  《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单,这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法:三三数之,取数七十,与余数二相乘;五五数之,取数二十一,与余数三相乘;七七数之,取数十五,与余数二相乘。将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。列成算式就是:

  N=70×2 21×3 15×2-2×105。

  这里105是模数3、5、7的最小公倍数,容易看出,《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对与一般余数的情形,《孙子算经》术文指出,只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R、R、R

  1 2 3表示这些余数,那么《孙子算经》相当于给出公式

  N=70×R 21×R 15×R-P×105(P是整数)

  1    2   3

  孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的 《孙子歌》中所说“七下稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上,它们具有如下特性:

  3×5×7

  70          3

  3 ×5 ×7

  21          5

  3×5×7

  15         7

  也就是说,这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后,再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k=2,k=1,k=1,那么整

  1   2   3数k(i=1,2,3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时

  i候余数都是1。由此出发,立即可以推出,在余数R、R、R的情况下

  1 2 3

  M       3 ×5 ×7

  R ×k ×    1  1  3   1      3    1

  M       3 ×5 ×7

  R2 ×k 2 ×         5         5

  M       3 ×5 ×7

  R ×k ×    3  3  7   3     7    3

  综合以上三式又可得到

  3 ×5 ×7      3 ×5 ×7      3 ×5 ×7

  R ×2 ×         1     3     2     5    3     7

  ≡R(mod3)

  1

  ≡R(mod5)

  2

  ≡R(mod7)

  3

  因为M=3×5×7可被它的任一因子整除,于是又有:

  3 ×5 ×7      3 ×5 ×7      3 ×5 ×7

  (R 1 ×2 ×              3          5          7

  ≡R(mod3)

  1

  ≡R(mod5)

  2

  ≡R(mod7)

  3

  这里的P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理,可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形:设有一数N,分别被两两互素的几个数a、a……a相除得余数R、R、……R,即

  1 2    n       1 2     n

  N≡R(mod ai)(i=1、2、……n)

  i

  只需求出一组数K,使满足

  i

  M

  ki  ≡1(mod  aai )(i     a

  i

  那么适合已给一次同余组的最小正数解是

  M     M     M      M

  N       1 1    2 2    3 3     n n

  a     a     a      a

  1     2     3      n

  这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说,它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。

  孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中,这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明,一次同余问题的研究,明显地受到天文、历法需要的推动,特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。大家知道,一部历法,需要规定一个起算时间,我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”,并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例,这部历法规定以冬至、朔旦 (朔日子夜)和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数,b是一朔望月日数,当年冬至距甲子日零时是R,离平朔时刻是R日,那么《影初历》上元积元数N就是同余组

  1          2

  aN≡R(mod 60)≡R(mod b)

  i        2

  的解。到了南北朝时期,祖冲之《大明历》(公元462年)更要求历元必须同时是甲子年的开始,天“日月合璧”、“五星联珠”(就是日、月、五大行星处在同一方位),月亮又恰好行经它的近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年,就相当于要求解十个同余式了。天文历法数据一般又都十分庞杂,所以,在《孙子算经》成书前后的魏晋南北朝时期,我国的天文历算家无疑已经能够求解形式比《孙子算经》“物不知数”题复杂得多的一次同余式,因而必定掌握了按一定程序计算一次同余式的方法。《孙子算经》比例题的形式总结、反映了这一事实。以后天文历算家长期沿用孙子算法推算上元积年,这中间肯定会引起更加深入的探讨。到公元13世纪,大数学家秦九韶集前法之大成,终于在一次同余式的研究上获得了超越前人的辉煌成果。

  秦九韶,字道古,生活于南宋时期,自幼喜好数学,经过长期积累和苦心钻研,于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作,在许多方面都有创造,其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”,更是具有世界意义的成就。

  这里主要介绍秦九韶对一次同余论的伟大贡献。

  秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦的方法,正是前述的剩余定理。我们知道,剩余定理把一般的一

  M

  次同余问题归结为满足条件K      (mod a )的一组数k  的选定。秦九韶给

  i      i       i

  a

  i这些数起名叫“乘率”,并且在《数书九章》卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——大衍求一术”。

  在秦九韶那个时代,计算仍然使用算筹。秦九韶在一个小方盘上,右上布置奇数g,右下布置定数a,左上置1(他叫它做“天元1”),然后在右行上下交互以少降多,所得商数和左上 (或上),直到右上方出现1为止。下页就是秦九韶的一般筹算图式,右边是一个数字例子 (g=20,a=27,k=c=23)。

  4

  秦九韶在《数书九章》中采集了大量例题,如“古历会积”、“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等,广泛应用大衍求一术来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题。在这些实际问题中,模数a并不总是两两互

  i素的整数。秦九韶区分了“元数”(a是整数)、“收数”(a是小数)、

  i             i

  “通数”(a是分数)等不同情形,并且对每种情形给出了处理方法。“大

  i衍总术”把“收数”和“通数”化成“元数”的情形来计算,而对于元数不两两互素的情形,给出了可靠的程序,适当选取那些元数的因子作定数而把问题归结为两两互素的情形。所有这些系统的理论,周密的考虑,即使以今天的眼光看来也很不简单,充分显示出秦九韶高超的数学水平和计算技巧。

  秦九韶小时曾跟随他父亲到南宋京城杭州,向太史局 (主管天文历法的机构)的官员学习天文历法,“大衍求一术”很可能就是他总结天文历法计算上元积年方法的结果。但是“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代“大衍求一术”又重新被发掘出来,引起了许多学者 (张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等)的兴趣。他们对

  “大衍求一术”进行了解释、改进和简化,其中黄宗宪《求一术通解》对模数非两两互素的情形给出了更加简明的方法,但是时代已是晚清。

  从 《孙子算经》“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”,我国古代数学家对一次同余式的研究,不仅在中国数学史上而且在世界数学史上占有光荣的地位。在欧洲,最早接触一次同余式的,是和秦九韶同时代的意大利数学家斐波那契 (1170~1250),他在《算法之书》中给出了两个一次同余问题,但是没有一般的算法。整个水平没有超过《孙子算经》。直到十八、十九世纪,大数学家欧拉(1707~1783)于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究,才重新获得和秦九韶 ‘大衍求一术”相同的定理,并且对模数两两互素的情形,给出了严格证明。欧拉和高斯事先并不知道中国人的工作。公元1852年英国传教士伟烈亚力(1815~1887)发表《中国科学摘记》,介绍了《孙子算经》物不知数题和秦九韶的解法,引起了欧洲学者的重视。1876年,德国马蒂生(1830~1906)首先指出孙子问题的解法和高斯方法一致,当时德国著名数学史家康托 (1829~1920)看到马蒂生的文章以后,度评价了“大衍术”,并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。直到今天,“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。如1973年,美国出版的一部数学史专著《十三世纪的中国数学》中,系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就,作者力勃雷希(比利时人)在评论素九韶的贡献的时候说道:“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早,考虑到这一点,我们就会看到,萨顿称秦九韶为 ‘他那个民族’,是毫不夸张的。”

  印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元6世纪到12世纪,他们发展了一种称为“库塔卡”的算法,用来求解和一次同余式等价的不定方程组。“库塔卡”法出现在孙子算法之后,印度数学家婆罗门芨多(七世纪)、摩柯吠罗(九世纪)等人的著作中,都有和物不知数题相同的一次同余问题。这当然不是要借此断言“库塔卡”法一定受到了孙子算法的影响,但是有人

  (如万海依等)硬说中国的“大衍求一”来源于“库塔卡”,就是毫无根据的妄说了。万海依居然把中国算法中数码从左到右横写作为“大衍术”受印度影响的重要根据。大家知道,中国古代至迟从春秋战国时期就开始使用算筹记数,我们今天还可以从现存的公元前三世纪的货币上看到这种从左到右的记数方法。由此可见,万海依的论点多么荒唐可笑。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性,“大衍求一术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的,正因为这样,在西方数学史著作中,一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。

  影子的数学应用

  自古以来,人们仰望遥远的天空时,就会情不自禁地想道:“天到底有多高呢?”

  由于天高不可测,人们便想知道,挂在天空的太阳离地到底有多远。孔子不能回答“小儿辩日”的问题,然而,初生的牛犊不怕虎,有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。

  约在公元300年,晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道:“长安离我们这儿远,还是太阳离我们这儿远?”司马绍回答:“太阳。因为:有闻客自长安来,却未闻有人从日边来。”元帝很高兴,第二天在宴会上说起这件事,当时别人又问司马绍一遍相同的问题,可是他却回答“长安远”。这下让元帝大为扫兴,正要提示,只见司马绍不慌不忙地补充说:“举目见日,不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜,登时四座惊服。司马绍才思敏捷,后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。

  那么,到底是长安远还是太阳远,科学家们却是用具体的数学来说话。长安在大地上,自然有办法丈量,而那个太阳高悬在空中,要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而,人类的智慧到底还是征服了大自然。

  这就是利用“影子”。

  一首题为《影子》的诗写道:“岂能依此长短,判定人的高矮!”这首诗只有寥寥12个字,却揭示了一条深刻的哲理,它寓含于科学与人生之中,就影子本身来说,它貌不惊人,从来都是某种物体的附属品,又是虚无阴暗的代表,习惯被人瞧不起,认为是毫无价值的、空洞的,甚至把它的存在也看成是多余的。然而,我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢?诚然,大自然的奇观五光十色,令人眼光缭乱,有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊!对于张目可见的影子实在不屑一提。可是,真正的科学家却不认为影子毫无用处,因为他们早就理解了其中的哲理,明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。

  不是吗?因为有了影子,人类才揭示了日食的秘密,同时,光学之中出现了成像原理,微积分学中有了变化率,测量学中有了测高望远之术,定时装置中有了日晷……

  早在公元前6世纪,古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓,据说当时美地亚和吕地亚国 (位于现今土耳其西部)发生战争,连续五年未分胜负,满目疮痍,哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。塔利斯目睹惨景,便去游说两国首领,晓以利害,建议停战,但均遭到冷遇。于是,他便扬言,上天反对战乱,某月某日利用日食作为警告。果然到了那天,两军正在酣战,突然太阳失去光辉,白昼顿时成了黑夜,双方将领大为恐慌,从此罢战言和。

  这个传说当然未必可信,因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的,但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用;而塔利斯深知影子的妙用,因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题:即金字塔有多高?

  当时,埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然,要求答案是准确可靠的,如果信口开河,无根据地胡诌一个数,这会要受到惩罚的。因此,在很长一段时间里没有人应征。终于有一天,金字塔前人山人海,争相目睹塔利斯的测高表演。首先,他在广场上竖立一根木棍,在日光照耀下,顺着影子从木棍的底部引出一条直线,量线长等于木棍高的地方做一个记号;他目不转睛地注视着影子的变化,当棍顶的影子与记号重合时,立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志;他认为,木棍影长与棍长相等时,塔高就应该等于塔影长的,只需量塔影长就知道塔高了。

  是的,这个方法很简单,他的原理也是容易被接受的。可是,当他量了塔影的部分长度(全部长度应是从塔中心开始,而有一部分处于底盘位置),准备再去量取金字塔底盘的宽度时,有人喊叫起来:“塔利斯的测量不准!”等他弄清是怎么回事时,不禁皱起眉头,看看影子,叹了口气!原来,就在他跑去设立塔顶影子的标志时,木棍的影子又变动了;而且,由于金字塔的底盘很大,需要量取底盘宽度,以便确定中心到边界的距离,按这距离加上所见影子的长度才是塔高,本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行,现在方向又偏移了,因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”,而是底盘很大的金字塔。

  塔利斯虽然第一次尝试失败了,但后来,却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试:观测两次,第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A,第二次b和B,那么,AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知,自然就容易求出塔高来。

  人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧,无不叹为观止。然而,一座塔、一棵树,甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度,却没有人敢想象更高的物体,譬如说太阳,它到底有多高呢?

  富于幻想的科学家想到,既然太阳是挂在天上的,日高也就是高了。那末,谁能够测得日高呢?

  第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽(公元3世纪),赵爽在作 《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题,他绘制了一幅《日高图》,在平地上面立两表 (表即“杆”的意思),日照下显出影长AB和CD,作CE=AB,则ED为两影长度之差;接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等,而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积,用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积,便得黄乙的长,它的上端与日头相齐,加上表高,就是日高了。

  赵爽测日高的方法可用下式表示:

  GA   FD       ED

  固然,由于地面不是很平的,而且表高与表间距离相对于日高来说过于微小,所以测得的日高是不够准确的。但是,赵爽却为后人提供了一种极为先进的测高望远之术。

  历史的发展必然会使科学不断进步,就在赵爽之后几十年,与其同世纪的刘徽提出一种重差理论,发明了“重差术”,“重”就是重复,“差”是日照影子长度的差值,说明只需测两次求日影的差,就可以算出距离。刘徽对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥,他认为,重差法用测日高可能不准确,但是,用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余;特别是用于测量

  “可望不可即”的景物更是别开生面,譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就可以用这种方法。

  AC   d      ED

  刘徽对影子的研究,使测高望远之术更加向前推进了一步。

  无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法,不但被刘徽推广和发挥,在外国也有惊人的成果。例如,1569年在威尼斯出版的一本书上绘制的图,所说明的测量建筑物高度的方法,其原理与《海岛算经》的《望海岛》题一样;此外,明末时期,意大利传教士利玛窦来我国,曾口授《测量法义》一书,也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方法大同小异,虽不能说他们的成果是源自刘徽,然而,这已是16、17世纪的事了,而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。

  有人追溯更早期利用影子测量景物的方法,可溯源至古埃及或古印度的时代,但是,除职像塔利斯那样的传说之外,基本上已没有什么当时的文献可查。而在欧洲,虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或某些文学作品中(例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度),也多半是近代的事;像16世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。

  人的自身能力是有限的,不能直接去丈量海岛的高度,更无法量出至海岛的距离,然而,凭借影子,却能把理想(甚至可以称为幻想)变成现实。如果我们回味那首短短的《影子》诗,就能悟出一番真谛。

  人们在研究影子的功用时,也曾出现一些疑点,例如有人怀疑塔利斯第一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。

  木棍比金字塔矮得多,木棍的影长等于棍子高度时,α=45°,但此时β不是45°,说明金字塔影长并不就是它的高度。那么,为什么可以认为塔利斯的方法是可行的呢?

  道理很明显,因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不足道了,因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的,这也是赵爽方法实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看,如果光源很近(例如是一盏灯),塔利斯的方法就不实用了,而刘徽的方法却是可行的。

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