澳门威斯尼斯人网址数学天才之路,牛顿的老师

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摘要:第七章 伊萨克·巴罗(IsaacBarrow,1630年10月生于伦敦,1677年5月4日卒于伦敦)是英国著名的数学家,1643年入剑桥大学三一学院,1648年获学士学位,1649年当选为三一学院院委,1652年获文

第七章

伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630年10月生于伦敦,1677年5月4日卒于伦敦)是英国著名的数学家,1643年入剑桥大学三一学院,1648年获学士学位,1649年当选为三一学院院委,1652年获文学硕士学位,1654年任剑桥大学讲师。1655-1659年在欧洲各国访问。1659年被授予英国教会牧师职位。1662年任伦敦格雷沙姆几何教授,并任剑桥大学数学教授。1663年被选为英国皇家学会会员。1664年任剑桥首届卢卡斯教授,1670年获神学博士学位。1672年任三一学院院长。在此期间,为建立该院图书馆作出重大贡献。1675年任剑桥大学副校长。

牛顿的故事

大科学家牛顿 牛 顿

第十章

艾萨克·牛顿的明珠

1652年获得硕士学位。 1660年晋升为教授, 1662年兼任伦敦大学几何学教授 ,1664年任剑桥大学第一任卢卡斯教授。 巴罗最重要的科学著作是《光学讲义》和《几何学讲义》,后者包含了他对无穷小分析的卓越贡献,特别是其中"通过计算求切线的方法",同现今的求导数过程已十分相近。他已察觉到切线问题与求积问题的互逆关系,但执著于几何思维妨碍他进一步逼近微积分的基本定理,微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成。巴罗最先发现了牛顿的天才,并于1669年自动辞去卢卡斯教授之职,举荐牛顿继任。

少年牛顿

少年牛顿

欧拉对数论的贡献

(17世纪60年代后期)

巴罗在数学、物理学、天文学和神学上都非常有成就。在数学上的重要贡献是:给出了求切线的方法,并作出了笛卡儿叶形线等一系列的重要曲线的切线,引入了"微分三角形"的概念,即相当于现代认为边的直角三角形,不过当时还没有使用"微分三角形"这一名称。从巴罗的著作中可以看出:他实际上已得到了两个函式的积和商和微分定理, 的微分、求曲线的长度、定积分中的变数代换,甚至还有隐函式的微分定理。但是在巴罗的著作里主要是单纯的几何的表达,还没有体现出微积分的统一思想。关于求切线和求面积问题的互逆性,在他的《几何讲义》中有采用几何形式的明确陈述和证明。但似乎他本人并没有认识它的重要性,以至没有作一般性的探讨,另外他对圆锥曲线也非常有研究。巴罗的主要著作有:《数学讲义》、《光学讲义》、《几何讲义》,他精通希腊文和阿拉伯文,并被誉为那个时代最权威的希腊语专家之一。他编译了《阿基米德全集》、《阿波洛尼厄斯曲线》、欧几里得的《几何原本》等,其中《几何原本》曾作为英国标准几何教材达半个世纪之久。巴罗是一位能言善辩、精力充沛的讲道者,晚年把主要精力转到神学。他作为神学家的声誉是靠《论罗马教皇的主权》一书得来的,此书在他去世后3年出版。

1642年的圣诞节前夜,在英格兰林肯郡沃尔斯索浦的一个农民家庭里,牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿,出生时只有3磅重。接生婆和他的双亲都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人,并且活到了竟活到了85岁的高龄。

1642年的圣诞节前夜,在英格兰林肯郡沃尔斯索浦的一个农民家庭里,牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿,出生时只有3磅重。接生婆和他的双亲都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人,并且活到了竟活到了85岁的高龄。

(1736年)

英雄世纪的数学

巴罗精通希腊文和阿拉伯文,曾编译过欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等希腊数学家的著作,其中欧几里得的《几何原本》作为英国标准几何教本达半个世纪之久 。

牛顿出生前三个月父亲便去世了。在他两岁时,母亲改嫁。从此牛顿便由外祖母抚养。11岁时,母亲的后夫去世,牛顿才回到了母亲身边。大约从5岁开始,牛顿被送到公立学校读书,12岁时进入中学。少年时的牛顿并不是神童,他资质平常,成绩一般,但他喜欢读书,喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物,并从中受到启发,自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意,如风车、木钟、折叠式提灯等等。药剂师的房子附近正建造风车,小牛顿把风车的机械原理摸透后,自己也制造了一架小风车。推动他的风车转动的,不是风,而是动物。他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上,然后在轮子的前面放上一粒玉米,刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米,就不断的跑动,于是轮子不停的转动。他还制造了一个小水钟。每天早晨,小水种会自动滴水到他的脸上,催他起床。

牛顿出生前三个月父亲便去世了。在他两岁时,母亲改嫁。从此牛顿便由外祖母抚养。11岁时,母亲的后夫去世,牛顿才回到了母亲身边。大约从5岁开始,牛顿被送到公立学校读书,12岁时进入中学。少年时的牛顿并不是神童,他资质平常,成绩一般,但他喜欢读书,喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物,并从中受到启发,自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意,如风车、木钟、折叠式提灯等等。药剂师的房子附近正建造风车,小牛顿把风车的机械原理摸透后,自己也制造了一架小风车。推动他的风车转动的,不是风,而是动物。他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上,然后在轮子的前面放上一粒玉米,刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米,就不断的跑动,于是轮子不停的转动。他还制造了一个小水钟。每天早晨,小水种会自动滴水到他的脸上,催他起床。

 费马的遗产 

  如果说16世纪是数学活动迅速发展的时期,17世纪就是震撼人心的革新和发现时期。17世纪在数学史上称为英雄世纪,因为在这一多产的年代,有众多的知识巨人往来其间。

轶闻

后来,迫于生活,母亲让牛顿停学在家务农。但牛顿对务农并不感兴趣,一有机会便埋首书卷。每次,母亲叫他同她的佣人一道上市场,熟悉做交易的生意经时,他便恳求佣人一个人上街,自己则躲在树丛后看书。有一次,牛顿的舅父起了疑心,就跟踪牛顿上市镇去,他发现他的外甥伸着腿,躺在草地上,正在聚精会神地钻研一个数学问题。牛顿的好学精神感动了舅父,于是舅父劝服了母亲让牛顿复学。牛顿又重新回到了学校,如饥似渴地汲取着书本上的营养。他写了一首题为《三顶冠冕》的诗,表达了他为实现献身科学的理想而甘愿承受痛苦的态度:

后来,迫于生活,母亲让牛顿停学在家务农。但牛顿对务农并不感兴趣,一有机会便埋首书卷。每次,母亲叫他同她的佣人一道上市场,熟悉做交易的生意经时,他便恳求佣人一个人上街,自己则躲在树丛后看书。有一次,牛顿的舅父起了疑心,就跟踪牛顿上市镇去,他发现他的外甥伸着腿,躺在草地上,正在聚精会神地钻研一个数学问题。牛顿的好学精神感动了舅父,于是舅父劝服了母亲让牛顿复学。牛顿又重新回到了学校,如饥似渴地汲取着书本上的营养。他写了一首题为《三顶冠冕》的诗,表达了他为实现献身科学的理想而甘愿承受痛苦的态度:

  我们已经了解了欧拉在计算复杂的无穷级数方面的成就。他的这些研究属于称作“解析法”的数学分支,他的发现在这一数学分支中显得特别重要和意义深远。但是,如果不介绍他在数论领域中的贡献,就不免是一大疏忽。欧拉在数论这一数学分支中也是当行出色的。我们前面曾讲到过一些有关数论的问题,在第三章,我们介绍了欧几里得关于素数无穷性的巧妙证明;我们还在第七章里介绍了费马关于数论的卓有见地的评论和猜想。如前所述,费马没有能够提供证明,而且,从费马到欧拉的100年间,数学界在证明费马猜想方面进展甚微。造成这种停滞的原因很多,一方面是由于17世纪末对微积分的新发现垄断了数学研究的方向,另一方面是由于数论对任何实际问题缺乏实用性,还有一部分原因是因为费马的猜想对于许多数学家来说,难度太大了。

  17世纪,科学活动的中心从我们前一章所介绍的天才的意大利代数学家向北转向了法国、德国和英国思想家。当然,造成这种北移的原因是多方面的,除了人的努力外,还有纯粹的机遇问题。但是,对于这种现象,某些学者认为,一个重要的原因是欧洲北部学术气氛比较自由,恰与意大利教会的严厉限制形成了鲜明对照。伽利略的命运就是一个最著名的例子,一个科学家根据科学研究所得出的结论却被17世纪强有势力的罗马天主教宗教机构视为不可接受的洪水猛兽。伽利略遭监禁,被迫否认自己的观点使知识界甚为寒心。整个事件构成了科学史上最不光彩的一页。

他还是位名教士,著有大量久负盛名的布道文。他为人谦和可亲,然而却与当时的国王查理二世的宠臣,著名的浪荡才子罗切斯特伯爵二世结下了难解之仇,只要遇到一起,终免不了舌战。 据说,罗切斯特曾将巴罗教士讥为"一座发霉的神学院"。

世俗的冠冕啊,我鄙视他如同脚下的尘土,

世俗的冠冕啊,我鄙视他如同脚下的尘土,

  欧拉对数论的兴趣是由克里斯蒂安·哥德巴赫引起的。关于哥德巴赫猜想,我们在第三章的后记中已作过简要介绍。哥德巴赫被数论问题深深地吸引住了,但是,他的热情远远超过了他的才能。他与欧拉一直保持着密切的通信联系,最初,是哥德巴赫告诉欧拉许多有关费马未证明的猜想,并引起了欧拉的注意。开始,欧拉似乎无意研究这些问题,但是,由于他自己无止境的好奇心和哥德巴赫的坚持,欧拉终于涉足其间。不久,他就被数论,特别是被费马一系列未证明的猜想深深地迷住了。正如现代作家兼数学家安德烈·韦尔所述,“……在欧拉(有关数论)的著作中,有相当一部分旨在证明费马的猜想。”在此之前,欧拉的数论著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人们认为,在他的科学生涯中,即使没有其他成就,这四卷著作也足以使他跻身于历史上最伟大的数学家之列。

  虽然北方并非一切都很自由和开放,但宗教改革运动的影响却似乎有利于消除对科学研究的种种禁锢,从此才有开普勒、笛卡儿和牛顿脱颖而出。而很有可能,由于教会试图推行僵化的正统观念,意大利才沦为科学上的二等公民。

某日,巴罗为国王作祈祷后与罗切斯特狭路相逢。

它是沉重的,而最佳也只是一场空虚;

它是沉重的,而最佳也只是一场空虚;

  例如,费马曾推测,某些素数可以写成两个完全平方数之和,欧拉对此作出了证明。显然,除2以外,其它所有素数都是奇数。当然,如果我们用4去除一个大于4的奇数,我们一定会得到余数1或3(因为4的倍数或4的倍数加2是偶数)。我们可以更简明地说,如果p>2是素数,那么,或则p=4k+1,或则p=4k+3(k是整数)。1640年,费马曾猜想,第一种形式的素数(即4的倍数加1)可以并且只能以一种方式写成两个完全平方数之和的形式,而形如4k+3的素数则无论以什么方式都不能写成两个完全平方数之和。

  在16世纪与17世纪交汇之际,赢得繁荣发展的不仅仅是数学。1607年,英国殖民詹姆斯敦,同时,欧洲人涌向新大陆。就在英国殖民詹姆斯敦之前几年,伽利略认真而巧妙地研究了落体运动规律,从而永远改变了物理学的性质。英国在詹姆斯敦建立殖民统治后两年,同一个伽利略又将发明不久的“小望远镜”指向天空,开创了现代天文学,同时也开始了他个人的苦难历程。当然,我们还不应忽略艺术的发展,1605年,塞万提斯写出了不朽的名著《堂吉诃德》;1601年,英国剧作家威廉·莎士比亚写出了《哈姆雷特》。

罗切斯特向巴罗深深地鞠了一躬后,语带讥讽地说:"博士,请您帮我系上鞋带。"

可是现在我愉快的欢迎一顶荆棘冠冕,

可是现在我愉快的欢迎一顶荆棘冠冕,

  这是一个独特的定理。例如,素数193=(4×48)+1可以以一种唯一方式写成两个平方数之和。对本例,我们可以很容易地证明,193=144 49=122+72,而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面,素数199=(4×49) 3绝对无法写成两个平方数之和的形式,这同样可以通过列出所有可能的形式来证明其不可能性。因此,我们在这两种形式的(奇)素数之间,就其表达为两个平方之和而言,发现了根本的差别。这是一个无法预料或凭直觉预测的性质。但欧拉在1747年对此作出了证明。

  当然,文化的新纪元并不是以整整100年为间隔, 16世纪末叶,数学革命的最初迹象便已出现。“英雄世纪”需要英雄,下面,我们将简要介绍其中的一些英雄。

巴罗答道:"我请您躺到地上去,爵爷。"

尽管刺得人痛,但味道主要的是甜;

尽管刺得人痛,但味道主要的是甜;

  我们再来看另一个例子。我们在第三章后记中曾讨论过所有偶完全数的问题,欧拉对此也表现出了他的数论天才。与这个问题有关的是他对所谓亲和数的研究。亲和数是一对具有下列性质的数字:一个数字的所有因数之和恰好等于第二个数字,而第二个数字所有因数之和也同样等于第一个数字。亲和数早在古代就引起了数学家的兴趣,他们认为亲和数具有神秘的“超数学”色彩。即使在现代,亲和数也因其独特的互逆性质游弋在数字学的伪科学中。

  16世纪90年代,法国数学家弗朗索瓦·维埃特出版了他颇有影响的著作《分析术引论》(通常译作《分析术》)。我们在第四章中曾讲到过维埃特对π近似值的计算,而他1591年的这部著作则成为他的代表作。《分析术引论》对发展符号代数作出了很大贡献,成为高等数学的“奠基之作”。众所周知,维埃特的代数符号与现代符号相去甚远,对于习惯于现代数学的读者来说,维埃特的符号似乎显得过于繁冗,而且还附有过多的文字说明。例如,对于现代方程式DR-DE=A2,维埃特则写成

"博士,我请您到地狱的中心去。"

我看见光荣之冠在我的面前呈现,

我看见光荣之冠在我的面前呈现,

  古希腊人已知道数字220和284是亲和数。即,220的所有因数是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110,这些因数加起来恰好等于284;同样,284的所有因数是1、2、4、71和142,它们加起来等于220。但遗憾的是,当时的数字学家们还不知道有其他的亲和数,直至1636年,费马才证明出17,296和18,416构成了第二对亲和数。(实际上,这对亲和数早已为阿拉伯数学家班纳(1256—1321年)所发现,比费马早300多年,但是,在费马时代,西方人还不知道这一对亲和数的存在。) 1638年,笛卡儿或许是为了与费马争胜,骄傲地宣布他发现了第三对亲和数:9,363,584和9,437,056。

  D in R-D in E aequabitur A quad

"爵爷,我请您站在我对面。"

它充满着幸福,永恒无边。

它充满着幸福,永恒无边。

  在欧拉开始研究这个问题之前的一百年间,亲和数的研究一直停滞不前。1747年至1750年期间,欧拉发现了122,265和139,815以及其他57对亲和数,这样,他独自一人就使世界已知亲和数增加了近20倍!欧拉之所以能够取得这样的成果,是因为他找到了生成亲和数的方法,并用这种方法生成了亲和数。

  尽管如此,但他的确朝着用字母表示方程的方向迈出了重要的一步。后来,又经过了几十年的改进与发展,代数符号体系终于在新的世纪中改革了数学的外观与实质。

"博士,我请您到地狱的最深层去。"

求学岁月

求学岁月

  费马最重要的猜想之一见于他1640年的另一封信中。他在信中说,如果a是任意整数,p是与a互质的素数,那么,p就一定是数字ap-1

1的因数。费马按照他令人厌烦的习惯,宣称他已经发现了这一奇特现象的证明,但却没有写在信中。并且,他告诉他的收信人,“如果不是怕这个证明太长的话,我就写给你了。”

  此后,这一性质便以“费马小定理”而知名。例如,素数p=5和数字α=8,定理宣称,5可以整除84-1=4096-1=4095;显然,这是正确的。同样,如果素数p=7,数字α=17,根据费马定理,7能够整除176-1=24,137,569-1=24,137,568;这个数字虽然很不明显,但却同样是正确的。

  费马是如何作出证明的,我们只能去猜想了。直到1736年,才有欧拉提供了一个完整的证明。我们后面将要讨论欧拉的证明,但在此之前,我们应先介绍一下欧拉作出证明所需要的数论依据:

  (A) 如果素数p能够整除a×b×c×……×d的乘积,那么,p就一定能够整除a,b,c,……,d这些因数中的(至少)一个因数。用通俗的话讲,就是,如果一个素数能够整除一个乘积,那么,它就一定能够整除其中的一个因数。正如我们在第三章中所述,欧几里得早在欧拉之前二千年就已在其《原本》的命题Ⅶ.30中对此作出了证明。

  (B)如果p是素数,a是任意整数,则下式

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  也表示一个整数。

  我们将不去证明这个论断,但要通过一两个例子来验证其正确。例如,如果a=13,p=7,那么,我们发现,

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  的确是一个整数,因为在原算式中所有貌似分数都约掉了,我们只剩下求整数的和。当然,这种约消不一定必然存在。实际上,如果我们在p的位置采用一个非素数,我们就会遇到麻烦。例如,如果a=13,p=4,我们得到

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  这当然不是整数。所以,只有p是素数,才能保证这一算式得到整数值。

  欧拉需要的最后一件数学武器是应用于(a+1)P的二项式定理。幸好,他在牛顿的著作中读到过这个定理,所以,他已经准备停当。我们将分四步来探讨他的证明,每一步都直接推导出下一步,最后一步将以费马小定理结束: 

定理 如果p是素数,a是任意整数,则p可以整除(a 1)P-(aP 1)。 

证明 应用二项式定理,展开第一个表达式,得到

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  我们将这一展开式代入(a 1)P-(aP 1),然后,合并同类项,并提取公因数p,即得到

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  根据上述(B),我们知道方括号中的项是一个整数。因而,我们证明了(a+1)P-(aP+1)可以分解因式为素数p与一个整数的乘积。换言之,如定理所称,p可以整除(a 1)P-(aP 1)。 证讫。

  我们利用这一结果即可直接导出第二个定理。 

定理 如果p是素数,并且,p可以整除aP- a,那么,p也可以整除(a 1)P-(a 1)。 

证明 前一个定理保证了p可以整除(a+1)P-(aP+1),并且,我们已知p也可以整除aP- a。所以,p显然可以整除这两者的和:

  [(a+1)P-(aP+1)] [aP-a]=(a+1)p-ap-1+ap-a

  =(a 1)P-(a 1)

  而这正是我们所要证明的。 证讫。

  上面的结论为欧拉提供了证明费马小定理的钥匙,这一证明过程被称作“数学归纳法”。归纳法是适于包含整数在内的一些命题的完美的证明技巧,这种方法利用了整数一个紧跟一个的“阶梯”牲质。归纳法证明很像攀登一个(非常高的)梯子。我们最初的工作就是要踏上梯子的第一级。然后,我们必然能从第一级登上第二级。这两步完成后。我们需要的是从第二级登上第三级,然后再从第三级登上第四级。如果我们掌握了从一级登上更高一级阶梯的方法,那么,这个梯子就属于我们了!我们确信,没有我们达不到的阶梯。欧拉应用归纳法作了如下证明: 

定理 如果p是素数,a是任意整数,那么,p能够整除aP-a。 

证明 因为这一命题涉及到所有整数,所以,欧拉开始先证明第一个整数,即a=1。但是这种情况极为简单,因为aP-a=1P-1=1-1=0,p当然可以整除0(实际上,任何正整数都能够整除0)。这使欧拉踏到了梯子上。

  现在,欧拉将a=1(即我们刚刚证明的p是1P-1的因数)应用于前面的定理,据此,欧拉就可以推断,p同样也能够整除

  (1+1)P-(1+1)=2P-2

  换句话说,欧拉证明了a=2。如果我通过前面的命题再循环一次,我们就发现,这表明,p能够整除

  (2 1)P-(2 1)=3P-3

  我们只要不断重复这个过程,就会看到p能够整除4P-4、5P-5,等等。这样,欧拉就像从梯子的一级不断爬向更高一级那样,能够一直爬向整数梯子的顶端,从而保证了对于任意整数a来说,p是aP-a的因数。 证讫。

  最后,欧拉准备证明费马小定理。由于已完成了上述艰苦的准备工作,所以,他最后一步证明极为轻松: 

费马小定理 如果p是素数,而a是与p互质的整数,那么,p能够整除aP-1 -1。 

证明 我们已证明,p能够整除

  aP- a=a[ap-1-1]

  根据上述(A),因为p是素数,p就一定能够整除a或aP-1 - 1(或两者)。但是,我们已假设p不能整除a,因而我们推断,p能够整除后者,即,p能够整除aP-1

  • 1。这就是费马小定理。 证讫。

  欧拉的论证是一颗明珠。他需要的仅仅是一些比较简单的概念;他溶入了归纳法这种关于整数的典型证明方法;并运用了远及欧几里得,近自二项式定理的命题。对于这些知识,他大量注入了自己的天才,这样就出现了费马以前提出但未能证明的费马小定理的第一个证明。

  顺便说几句题外的话,令人惊奇的是,欧拉的这一命题最近被应用于一个实际问题——即设计某些高度复杂的密码系统,以发送机密信息。纯数学抽象定理亦有其非常实际的用途,在这方面,这不是第一例,当然也不是最后一例。 

伟大的定理:欧拉对费马猜想的反驳

  就我们本章的目的来说,前面的论证只是序曲。费马/欧拉的另一个命题将作为本章的伟大定理。毫不奇怪,正是欧拉的笔友哥

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  德巴赫的信引起了欧拉的兴趣。在1729年12月1日的一封信中,哥数,你知道这个问题吗?他说他没能作出证明;据我所知,也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”

  费马声称发现了一个始终能生成素数的公式。显然,就n的最初几个澳门威斯尼斯人网址 7 

  数28 1=257和216 1=65537。按序列,下一个数字n=5就生成了一个巨大的数字

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  费马同样认为这是一个素数。如果沿着费马的思路,从直觉上没有理由怀疑他的推断。另一方面,任何数学家如果想要否定费马的猜想,就必须要找到一种方法,以将这一10位数字分解为两个较小的因数;而这种研究可能需要几个月的时间,当然,如果费马对这个数字的素数性的推断是正确的话,则这种探索将是徒劳无益的。总之,我们有种种理由接受费马的推测,转而去忙别的事情。

  但这不是欧拉的性格。他开始对数字4,294,967,297进行研究,最后,欧拉终于成功地分解出这个数字的因数。费马的猜想是错误的。无需赘言,欧拉发现这个数字的因数并非偶然。他就像侦探一样,首先从一个案件的真正嫌疑犯中排除无辜的旁观者。按照这种思路,欧拉设计了一个非常巧妙的检验方法,从一开始就排除掉所有无关的数字,只留下4,294,967,297的几个潜在因数。他的非凡观察力使摆在他面前的任务变得格外简单。

  欧拉首先提出一个偶数a(但如果能够知道真相的话,他心里实际想的是a=2)和一个素数p,且p不是a的因数。然后,他希望能确定对素数p的限制,看其能否分别整除a+1、a2+1、a4+1,或其一般式

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  他能否发现a32+1的素因数呢?

  命运似乎对费马开了一个不大不小的玩笑,欧拉用以否定费马猜想

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马自己种下了埋葬自己的种子。的确,随着我们介绍欧拉推导下述定理的过程,我们不能不承认,费马小定理起了关键性的作用。 

定理 A设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但却能够整除a 1。那么,对于某一整数k,p=2k+1。 

证明 这是一个非常简单的定理。如果a是偶数,那么,a+1就是奇数。因为我们假设p能够整除奇数a+1,所以,p自身也一定是奇数。因而,p-1是偶数,并且,对于某一整数k来说,p-1=2k,也就是p=2k+1。证讫。

  我们来看一个具体数例。如果我们先设偶数a=20,那么,a+1=21,并且,21的两个素因数(即3和7)都符合2k+1的形式。

  下一步是更具挑战性的一步: 

定理B 设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但却能够整除a2+1。那么,对于某一整数k来说,p=4k+1。 

证明 因为a是偶数,所以a2也是偶数。根据定理A,我们知道,a2+1的任何素因数(特别是数字p)都一定是奇数。也就是说,P等于2的倍数加1。

  但是,如果我们用4去除p,结果如何呢?显然,任何奇数都一定等于4的倍数加1或者4的倍数加3。使用符号,p可以表示为4k+1或4k+3的形式。

  欧拉想消除后一种可能性,为了造成最后的矛盾,他必须先假定p=4k+3,其中k为某一整数。由于定理设p与a互质,所以,根据费马小定理,p能够整除

  ap-1-1=a(4k+3)-1 - 1=a4k 2 -1

  另一方面,定理给出p是a2+1的因数,所以,p也是下列乘积的因数:

  (a2 1)(a4k-a4k-2+a4k-4-……+a4-a2 1)我们可以用代数方法对这一乘式进行计算,通过乘出上式,并合并同类项,就可以将这一复杂的乘积简化为a4k 2+1的形式。

  现在,我们可以断定,p既能够整除a4k 2+1,也能够整除a4k 2-1。所以,p一定能够整除这两者的差

  (a4 2+1)-(a4k 2-1)=2

  但是,这是一个明显的悖论,因为奇素数p不能整除2。它表明,p不能象我们在开始时所假设的那样具有4k+3的形式。由于只剩下了一种选择,所以,我们可以断定,对于某一整数k来说,p一定等于4k+1。证讫。

  与前面一样,我们现在来举几个具体数例。如果a=12,那么,a2+1=144+1=145=5×29,5和29都是4k+1形式(即4的倍数加1)的素数。同样,如果a=68,则a2+1=4625=5×5×5×37,其中的每一个素因数都等于4的倍数加1。

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定理C 设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但p能够整除a4+1。那么,对于某一整数k来说,p=8k 1。 

证明 首先说明,a4+1=(a2)2+1。所以,我们可以应用定理B,将p写成4的倍数加1的形式。据此,欧拉提出,如果不用4,而用8去除p,结果又会如何呢?起初,我们可能会遇到8种可能性:

  p=8k(即,p是8的倍数)

  p=8k+1(即,p等于8的倍数加1)

  p=8k+2(即,p等于8的倍数加2)

  p=8k+3(即,p等于8的倍数加3)

  p=8k+4(即,p等于8的倍数加4)

  p=8k+5(即,p等于8的倍数加5)

  p=8k+6(即,p等于8的倍数加6)

  p=8k+7(即,p等于8的倍数加7)

  幸运的是(而这正是欧拉分析的核心),我们可以消除其中p的某些可能形式。首先,我们知道,p一定是奇数(因为p是奇数a4+1的因数),所以,p不可能呈现8k、8k+2、8k+ 4或8k+6的形式,因为它们显然全都是偶数。

  并且,8k 3=4(2k)+3等于4的倍数加3,根据定理B,我们知道, p不可能具有这种形式。同样,数字 8k +7=8k+4+ 3= 4(2k 1)+3也等于4的倍数加3,所以,也不在考虑之列,应予以消除。

  这样,a4+1的素因数就只剩下了 8k+1和8k+5两种可能形式。但是,欧拉按下述方法成功地排除了后者:

  为了造成矛盾,必须先假定p=8k+5,其中k为某一整数。那么,由于p与a互质,所以,根据费马小定理,p能够整除

  ap-1-1=a(8k 5)-1-1=a8k 4-1

  另一方面,由于p能够整除a4 1,所以,p也肯定能够整除

  (a4+1)(a8k-a8k-4+a8k-8-a8k-12+……+a8-a4+1)

  这一乘积可以用代数方法简化为a8k-4+1。但是,如果p既是a8k-4+l的因数,又是a8k-4-1的因数,那么,p也就应该能够整除它们的差

  (a8k-4+1)-(a8k-4-1)=2

  这样,就出现了矛盾,因为p是奇素数。所以,我们看到,P不可能有8k+5的形式,因而,正如定理所断定的那样,p的唯一可能形式只能是8k 1。 证讫。

  我们再来举一个简单的例子。如果偶数a=8。那么,a4+1=4097,这个数字可以分解为 17×241,而 17和 241都可以分解为 8的倍数加1的形式。

  据此,欧拉证明了更多同样形式的情况,但是,为了我们的目的,我们应将这一模式整理一下,使之条理更加清晰。我们可以概括前面的所有工作如下。若a为偶数,p为素数,那么,

  如果p能够整除a+1,则p为2k+1的形式(定理A)

  如果p能够整除a2+1,则p为4k+1的形式(定理B)

  如果p能够整除a4+1,则p为8k+1的形式(定理C)

  如果p能够整除a8+1,则p为16k+1的形式

  如果p能够整除a16+1,则p为32k+1的形式

  如果p能够整除a32+1,则p为64k+1的形式 

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  p=(2n 1)k 1。

  终于,我们可以回到费马关于232+1的素数性的猜想。然而,我们是带着一种关于这一数字可能具有素因数的特别信息回到这个问题上来的。欧拉不是盲目地探索这个数字的素因数,相反,他很快地触及到问题的核心。 

定理 232+1不是素数。 

证明 由于a=2当然是偶数,前面的探索告诉我们,232+1的任何素因数都一定为p=64k 1(k为整数)的形式。因而,我们可以一个个地检验这些极特殊的数字,看它们是否(1)是素数,(2)能整除4,294,967,297(欧拉用长除法检验后者,而现代读者则可望使用计算机):

  如果k=1,64k+1=65,这当然也不是素数,因而无须检验;

  如果k=2,64k+1=129=3×43,当然也不是素数;

  如果 k=3,64k+1=193,这是一个素数,但却不能整除232 1;

  如果k=4, 64k+1=257,这是一个素数,但同样不能整除232+1;

  如果k=5,64k+1=321=3×107,这不是素数,无须检验;

  如果k=6,64k+1=385=5×7×11,也可以略过;

  如果k=7,64k+1=449,这是一个不能整除232+1的素数;

  如果k=8,64k+1=513=3×3×3×19,略过;

  如果 k=9,64k+1=577,是一个素数,但却不是232+1的因数;

  但是,当欧拉试算k=10的时候,他就击中了要害。在这种情况下,p=(64×10)+1=641,这是一个素数,而且,看哪!恰好能够整除费马的数字。即,

  232+1=4294967297=641×6700417

  欧拉仅仅试算了5个数字,就发现了因数641,意义十分深远。他通过谨慎地排除 232+1的可能性因数的方法,穷竭了可疑数字,使他的任务变得几乎轻而易举。这是一个数学检测的辉煌范例。

  关于欧拉上述定理,还有一则有趣的补遗,即4k+1形式的素数只能分解为一种形式的两个平方数之和。首先,我们来看,

  232 1=(22)(230) 1=4(1073741824) 1

  所以,232+1的确具有4k+1的形式。我们可以直接用数字来检验,

  232 1=4294967297=4294967296+1=655362+12

  同时,

  232+1=4294967297=418161601 3876805696

  =204492+622642

  这样,我们就以两种不同的方式,将数字232+1分解为两个完全平方数之和。根据欧拉的准则,这证明了232+1不可能是素数,因为4k 1形式的素数只能有一种分解方式。因此,虽然我们没有找到确定的因数,但我们仍然可以非常巧妙地间接证明,这一巨大的数字是合数。

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 错误的。但是,如果取更大的n值,结果又会如何呢?例如,如果n=6,我们得出澳门威斯尼斯人网址 14 

  这个数字是能够被素数p=274,177除尽的。毫不奇怪,按照欧拉发现的模式,p具有128k+1的形式;即,p=(128×2142)+1。费马又错了。

  接下来的情况更糟糕。1905年,一个非常复杂的论证表明,费马的下澳门威斯尼斯人网址 15

一巨大数字的具体因数。直到1971年,人们才发现了这个长达17位的因数。

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过是以偏盖全面已。尽管他宣称所有这些数字都是素数,但当n≥5时,却从来也没有发现过这种形式的素数。实际上,现在许多数学家都在猜测,除了费马已发现的当n=1、2、3、4时的四个素数以外,根本就没有这种形式的素数存在。这样,费马猜想就不仅是错误的,而且是大错特错了。

  至此,我们可以就我们对欧拉数论的简要评述作一个总结。如前所述,本章的这些定理最直接地表明了欧拉在数论领域的巨大影响。诚然,他是站在天才的前辈、特别是站在费马的肩膀上。但是,欧拉的研究,不可估量地丰富了这一数学分支,并使他自己跻身于第一流的数论学家之列。 

后记

  当欧拉逝世的时候,卡尔·弗里德里希·高斯刚刚6岁。然而,这个德国男孩超常的智力已经给其长者留下极深的印象。几十年后,他继承欧拉的衣钵,成为世界上最优秀的数学家。

  我们在第三章曾介绍过高斯最初期的成就,他在1796年发现可以用圆规和直尺作出正17边形的图形。这一证明在数学界引起了一场轰动,因为自古以来,没有任何人想到过有可能作出这一图形。我们还是让年轻的高斯自己来加以说明:

  “每一个略通几何的人都清楚地知道,许多正多边形,即三角形、五边形、15边形以及它们的2n倍的正多边形,都可以用几何方法作出。远在欧几里得时代,人们就已懂得这一点,并且,从那时起,人们似乎就已相信,初等几何的范围是不可能扩大的……然而,我认为,除了这些常规多边形之外,更非凡的是可以同样用几何方法作出的其他一些图形,如正17边形。”

  高斯虽然当时尚不足20岁,但在正多边形的几何作图方面,却比欧几里得、阿基米德、牛顿或其他任何人都看得深远。

  然而,高斯所做的,还不仅仅是证明了正17边形几何作图的可能性,澳门威斯尼斯人网址 17

  当然,我们已知道,这种形式的素数正是费马所称的素数。由于某种原因,这一数论问题与几何作图有着内在的联系。正如数学史上有时出现的那样,一个数学分支(本例为数论)中的发现和研究会对另一看来无关的分支(正多边形的几何作图)产生深刻影响。当然,这里的关键是“看来无关”。但实际上,高斯的研究表明,这两者之间确有着不可否认的关系。 

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1=65537边形也可以用几何方法作出!当然,这些作图绝对没有任何实际意义,但它们的存在再次表明,在我们所熟悉的欧氏几何下面,隐藏着一个奇怪的、令人意想不到的神密世界。高斯自己对这一发现也颇感自豪,甚至在他毕生取得非凡的数学成就之后,他还是要求将一个正17边形铭刻在他的墓碑上。(令人遗憾的是,这点没有做到。)

  卡尔·弗里德里希·高斯于1777年出生在德国的不伦瑞克,他很小时就显示出聪明过人的迹象。三岁时,这个还没有桌子高的小家伙就能够核算他父亲的帐目,偶尔还能够改正其中的错误。有一个高斯在小学时的脍炙人口的故事,讲的是,一次,他的一个老师显然是上课太累了,想稍事休息,就要求全班同学静静地计算前一百个整数的和。这些孩子们无疑得费一会儿功夫。但是,老师刚刚把题目讲完,卡尔就站起来,把答案放在了老师的桌上,而这时,其他同学几乎刚刚计算出“ 1+ 2 3 4 5= 15”。面对这一意想不到的情况,大家可以想象老师脸上那种交织着怀疑与沮丧的表情,但当他瞥了一眼高斯的答案时,却发现答案完全正确。高斯是怎样计算出来的呢?

  首先,这不是魔法,也不是那种能够以闪电般的速度累加一百个数字的能力。确切地说,是高斯甚至在如此小小年纪就已表现出来的敏锐的洞察力,这种洞察力贯穿了他的一生。据说,他只是想象他所求的和(我们用S表示)可以同时写成递升次序和递降次序:

  S=1+2+3+4+…… 98+99+100

  S=100+99 98+97+……+3+2+1

  高斯没有横向去加这两行数字,而是竖向将各列相加。由于每一列的和都恰好等于101,这样,他就得到

  2S=101+101 101+…… 101+101

  但是,要有100列相加,因而,2S=100×101=10100,所以,前100个整数的和等于

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  所有这些,在高斯脑子里都是瞬间完成的。显然,他的前途无量。

  高斯学业进展神速,受到不伦瑞克公爵的赏识,15岁时,在公爵资助下,进入卡罗林学院。三年后,他进入了久负盛名的哥廷根大学深造。1796年,在哥廷根大学,他作出了有关正17边形的非凡发现。显然这是他投身于数学研究的一个决定性因素;他以前曾想成为一个语言学家,但17边形的发现使他相信,也许,他天生是个数学家。

  1799年,高斯因其对现在称之为代数基本定理的命题作出了第一个合理而完整的证明,在黑尔姆施泰特大学获得博士学位。仅从名称我们就能够感觉到这一定理的重要性。这一命题涉及到解多项式方程问题,显然,这是代数学上的一个基本课题。

  虽然早在17世纪就有关于代数基本定理的论述,但真正使其著名的是法国数学家让·达朗贝尔(1717—1783年),他曾于1748年试图作出证明,但失败了。他所论述的定理是:任何实系数多项式都可以分解为实系数一次因式和二次因式的乘积。例如,因式分解

  3x4 5x3 10x2 20x-8=(3x-1)(x+2)(x2 4)

  即说明了达朗贝尔所论的分解方式。本例中的实系数多项式分解为几个简单的因式:两个一次因式和一个二次因式。

  并且,我们注意到,我们还可以用复数来分解这一二次因式。虽然我们在讨论三次方程时曾接触过许多复数问题,但实际上,复数是在其后确立代数基本定理的过程中才日渐突出起来的。我们可以对下列方程进行验算:如果a、b、c是实数,并且a≠0,那么, 

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  这样,实系数二次多项式ax2+bx+c就分解为两个有点不太赏心悦目的一次因式。(反应快的读者会看到,在这一因式分解过程中应用了二次方程公式。)

  当然,我们不能保证这些一次因式都由数组成,因为如果b2-4ac<0,我们就进入了虚数王国。例如,在上述例子中,我们可以进一步分解二次项,以得到完全国式分解:

  3x4+5x3 10x2 20x-8

       澳门威斯尼斯人网址 21

  这样,随着一个四次实系数多项式分解为四个一次因式的乘积,我们当然会意识到有希望进行任何次多项式的完全因式分解。据此,代数基本定理称,任何n次实系数多项式都可以分解为n个(也许是复数)一次因式的乘积。

  如前所述,达朗贝尔认识到了这一定理的重要性,并曾试图作出证明。但遗憾的是,他的努力远未成功。尽管他实际上未能证明这一定理,但也许是为了对他的努力表示敬意,这一定理长期以来一直称为“达朗贝尔定理”。这很有点儿像用拿破仑的名字命名莫斯科,只是因为拿破仑曾试图到达莫斯科。

  18世纪中叶,对这一定理的研究一直处于停滞不前的状态。关于这一定理是否正确,数学家们众说纷纭,例如哥德巴赫就曾怀疑其正确性,而那些相信其正确的数学家们也未能提出证明。也许最接近于作出证明的是李昂纳德·欧拉1749年的一篇论文。

  欧拉的“证明”显示了他特有的机敏和独创性。他开始时论述得十分出色,漂亮地证明了实系数四次或实系数五次方程可以分解为实系数的一次或二次因式的乘积。但是,当他依据这一定理,论证更高次多项式时,他发现自己陷入了极度复杂的混乱之中。例如,对于他事先引入的一个辅助变量u,首先要证明某一特定方程可解。欧拉不无遗憾地写道,“确定未知的u值,必须要解一个12870次方程。”他试图采用间接方法证明这一点,但他未能使他的评论家们信服。总之,他做出了令人钦佩的努力,但代数基本定理最终仍击败了他。而欧拉落败可能会给那些缺少数学才能的人(实际上包括每一个人)带来某些心灵上的安慰。

  代数基本定理确立了以复数进行多项式因式分解的原则,但这一定理一直处于非常不确定的状态。达朗贝尔未能作出证明;欧拉也仅仅证明了一部分。显然,需要极大的毅力,才能彻底证明其正确与否。

  这样,我们再回到高斯的划时代论文,这篇论文的题目很长,且富有描述性:《关于任何有理代数整函数(即每一个带有实系数的多项式)都能够分解为一次或二次实因子的定理的一个新证明》。他首先就其前辈对这一定理的研究提出了自己批判性的评论。在论及欧拉的证明时,高斯认为,欧拉证明的缺陷是没有作出“数学所要求的一般性证明”。他不仅在这篇论文中,而且还在他1814、1816和1848年发表的对这一定理的三个别证中都成功地作出了对一般情况的证明。

  今天,我们比19世纪初叶时更认识到这一重要定理的普遍性。我们现在可以在以下意义上将这一定理完全转化为复数问题:我们不再要求所论多项式必须具有实系数。总之,我们认为n次多项式既可以有实系数,也可以有复系数,例如,

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  尽管这种修改使其明显地变得更加复杂,但基本定理保证了即使是这种类型的多项式也能够分解为n个一次因式(当然带有复系数)的乘积。

  高斯下一步的主要工作是对数论的研究,在这方面,他继承了欧几里得、费马和欧拉的传统。1801年,他发表了他的数论名作《算术研究》。顺便说一句,他在这本书的最后广泛讨论了正多边形的作图(出人意料是,他将这一问题的讨论与复数密切联系起来)及这种作图与数论的关系问题。高斯一生始终关注这个问题,他曾说过,“数学,科学的皇后;数论,数学的皇后。”

  卡尔·弗里德里希·高斯虽然尚不足30岁,但他已在几何、代数和数论领域作出了划时代的发现,并被任命为哥廷根天文台台长。他后来一直担任这一职务,直至逝世。这一工作要求他必须努力将数学应用于现实世界,这些问题与他所热爱的算术有天渊之别,然而他依然干得十分出色。在确定谷神星的运行轨道中,高斯起了很大作用;他还细心地描绘了地球磁场图,高斯与威廉·韦伯一起,是最早的磁学家。高斯还与韦伯合作,发明了电磁电报,几年后,美国科学家塞缪尔·F.B.莫尔斯在此基础上,发明了更大规模的电报通讯,并因此声誉雀起。高斯在数学应用方面的成就堪与他在纯数学领域的贡献相匹敌。像牛顿一样,他在这两个领域都获得了辉煌的成就。高斯与艾萨克爵士不仅在数学方面,而且在心理上,也有许多相似之处。他们两人都以冷淡、孤僻的个性及甘愿孤立从事研究而著称。他们都不大喜欢教学,但高斯却曾指导过19世纪一些最优秀的数学家进行博士研究。

  并且,他们两人都尽力避免学术论争。我们回想一下,牛顿年青时似乎宁肯下油锅,也不愿将他的研究成果交给社会评判。高斯同样对与流行的科学观点相左而感到不安,最明显的是他在发现非欧几何时所表现的那样。我们在第二章的后记中曾提到,他担心自己如果在这个问题上提出命性见解,会遭到“蠢人的讥笑”。19世纪初叶,高斯已成为世界最优秀的数学家。对此,他似乎特别意识到他的思想的影响及其必将受到的严格评判。对代数基本定理作出绝妙的证明是一回事,但要告诉世界三角形内角和可能会小于180°则又是另一回事。高斯断然拒绝采取这种立场。他也像牛顿那样,把自己奇妙的发现收藏起来,锁进了抽屉深处。

  然而,不应忽略,高斯这位刻板而内向的数学家还有其另外一面,令人意想不到。事情涉及他对法国女数学家索菲·格尔曼(1776—1831年)的鼓励。索菲·格尔曼克服了重重障碍,终于成为19世纪初的杰出数学家。她的故事明确地揭示了一种社会态度,即认为数学学科不适于妇女。

  格尔曼幼年时在他父亲的书房里发现了一些数学书,这些书深深地迷住了她,尤其是普卢塔克关于阿基米德之死的描述,对于阿基米德来说,数学甚至比生命更重要。但是,当她表示有志学习数学时,却遭到了她父母的反对。他们禁止她读数学书,索菲·格尔曼就只好把书偷偷拿进自己的房间,在微弱的烛光下苦读。后来,家里人发现了她的这些秘密,就拿走了她的蜡烛,并且,还拿走了她的衣服,让她无法在阴冷的屋子里读书。但是,这些极端的措施都没有能够使她屈服,这足以证明了格尔曼对数学的热爱,也许还证明了她身体的耐力。

  当格尔曼掌握了更多的数学知识后,她就准备向更高级的程度进军。但是,她想进入学院或大学学习的想法在当时看来似乎十分荒谬,于是,她就只好在教室门外偷听,尽可能地记住老师讲课的内容,然后向富有同情心的男学生借来课堂笔记。很少有人是经过这样一条崎岖小路才进入高等数学殿堂的。

  然而,索菲·格尔曼获得了成功。1816年,她的工作已经给人以深刻印象,她对弹性片振动性质的透彻分析,为她赢取了法兰西研究院奖金。在这期间,她用假名安托万·勒布朗隐瞒了自己的身份,以免暴露身为女人这一不可宽恕的罪过。并且,她还以这一笔名与世界最优秀的数学家保持通信联系。

  高斯从一开始时就对他的法国笔友印象极佳。勒布朗显然曾认真读过《算术研究》,并就书中定理有所概括和发展。1807年,卡尔·弗里德里希·高斯终于知道了索菲·格尔曼的真实身份。格尔曼显然对这一消息所产生的影响甚为担忧,她写给高斯的信简直就像是一封忏悔书:

  “……我以前曾用勒布朗的名字与您通信,这些信件无疑不值得您答复……我希望今天向您吐露的真情不会剥夺您曾经给予我的荣幸,并恳请您抽出几分钟时间向我介绍一些您自己的情况。”

  也许出于格尔曼意外的是,高斯的回信充满了慈爱与理解。他承认,他在看到勒布朗“变成”索菲·格尔曼的时侯,确实感到“吃惊”,并且,他对数学界中的不公正表示了自己深刻的见解:

  “人们很少对一般抽象科学,尤其是对数的奥秘发生兴趣。我们不会对此感到惊讶。这门卓越的科学,只向那些有勇气深入探索的人,展现它迷人的魅力。由于我们的习惯和偏见,女性要熟悉这些棘手的研究,必定会遇到比男性多得多的困难。但是当一个女性成功地越过了这些障碍,深入到其中最难解的部分时,那就毫无疑问,她必定具有最崇高的勇气,非凡的才能和超人一等的天才。”

  高斯以同样的热情赞扬了格尔曼的数学著作,称其“给了我无比的快乐”。然后,他又继续写道,“如果我冒味对你的上封信作一点儿评论,请你把这看作是我对你关心的证明”,并进而指出了她推理中的错误。虽然索菲·格尔曼的数学能够给高斯以无穷的快乐,但这封信清楚表明了,在高斯心目中,究竟谁是大师。

  应当指出,即使在她的身份暴露后,格尔曼的数学生涯依然很有成果。1831年,经高斯的大力推荐,哥廷根大学准备授予她名誉博士学位。这在19世纪初叶的德国,对一个女人来说,是极大的荣耀。但非常遗憾,未及授予,格尔曼已逝世。

  那么,卡尔·弗里德里希·高斯又是如何呢?他一直活到78岁高龄,最后死于他任台长近50年的哥廷根天文台。到他逝世的时侯,他的声望已达到近乎神话的程度,人们只要一提到数学家之王,就知道是指高斯,而非其他人。

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  然而,高斯自己却遵循着一句不同的格言:“少些,但要成熟”,这句格言贴切地反映了他的生活和工作。高斯在有生之年发表的著作比较少。但他大量未发表的著作却足以使众多数学家成名。他特别注意他的著作可能产生的影响,并尽可能达到尽善尽美的程度才予以发表。高斯的著作虽然不如欧拉数量多,但一旦下笔,就会引起数学界的注意。他身后留下的成果(从正17边形的作图,到《算术研究》和辉煌的代数基本定理),具备了任何数学著作所应具备的成熟。

  17世纪初叶,不列颠群岛的两位数学家约翰·纳皮尔(1550—1617年)与亨利·布里格斯(1561—1631年)共同引入、完善和开发了“对数”,这是一个具有重大实际意义和理论意义的概念。对数具有简化诸如乘、除和开方这些繁冗计算的非凡性质,以至此后任何头脑健全的科学家
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"不敢,爵爷,这样高雅的宫殿应留给您这样有身份的人啊!"说完,巴罗耸耸肩走开了。

牛顿19岁时进入剑桥大学,成为三一学院的减费生,靠为学院做杂务的收入支付学费。在这里,牛顿开始接触到大量自然科学著作,经常参加学院举办的各类讲座,包括地理、物理、天文和数学。牛顿的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学多才的学者。这位学者独具慧眼,看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。于是将自己的数学知识,包括计算曲线图形面积的方法,全部传授给牛顿,并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。

牛顿19岁时进入剑桥大学,成为三一学院的减费生,靠为学院做杂务的收入支付学费。在这里,牛顿开始接触到大量自然科学著作,经常参加学院举办的各类讲座,包括地理、物理、天文和数学。牛顿的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学多才的学者。这位学者独具慧眼,看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。于是将自己的数学知识,包括计算曲线图形面积的方法,全部传授给牛顿,并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。

·拉普拉斯评论说,纳皮尔和布里格斯的对数“通过简化计算,使天文学家的生命延长了一倍”。当然,布里格斯与纳皮尔的合作也是值得称道的,这与后来某些损害数学发展的激烈争吵与妒忌恰恰形成了鲜明的对照。

后来,牛顿在回忆时说道:“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程,也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。”

后来,牛顿在回忆时说道:“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程,也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。”

  随着时代的发展,三位法国数学家引起了人们的注意。第一位是哲学家兼数学家勒内·笛卡儿(1596—1650年),他 1637年的著作《方法论》成为哲学史上的一座里程碑。这部关于“一般科学”的论著不但预示而且促进了成为时代特征的科学大爆炸。《方法论》中的哲学内容引起了人们的广泛讨论和热烈争辩,而其题为“几何学”的附录部分则最直接地影响了数学的发展。笛卡儿在此第一次将我们今天所谓的解析几何形诸笔墨。如同维埃特的代数符号一样,笛卡儿的解析几何与现代解析几何也相去甚远,但它毕竟宣告了代数与几何的结合,成为其后所有数学著作中不可或缺的内容。

当时,牛顿在数学上很大程度是依靠自学。他学习了欧几里德的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。其中,对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》,它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿——解析几何与微积分。1664年,牛顿被选为巴罗的助手,第二年,剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

当时,牛顿在数学上很大程度是依靠自学。他学习了欧几里德的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。其中,对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》,它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿——解析几何与微积分。1664年,牛顿被选为巴罗的助手,第二年,剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

  在《方法论》问世的时候,布莱兹·帕斯卡(1623—1662年)只是一个14岁的少年,却已出席了法国高级数学家的聚会。他已开始步入其虽然短暂,但却辉煌的数学生涯。帕斯卡是一个聪慧过人的孩子,是我们有时在数学史中见到过的那种神童。他在16岁时所撰写的数学论文就给数学巨匠笛卡儿留下了极深的印象,笛卡儿简直难以相信这篇论文的作者竟是如此年少的孩子。两年后,帕斯卡发明了第一架计算机,这就是我们现代计算机的始祖。并且,帕斯卡还对概率论作出了重大贡献,推动了概率论在一百年前卡尔达诺创立的基础上向前发展。

正当牛顿准备留校继续深造时,严重的鼠疫席卷了英国,剑桥大学因此而关闭,牛顿离校返乡。家乡安静的环境使得他的思想展翅飞翔,以整个宇宙作为其藩篱。这短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月,他的三大成就:微积分、万有引力、光学分析的思想就是在这时孕育成形的。可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。

正当牛顿准备留校继续深造时,严重的鼠疫席卷了英国,剑桥大学因此而关闭,牛顿离校返乡。家乡安静的环境使得他的思想展翅飞翔,以整个宇宙作为其藩篱。这短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月,他的三大成就:微积分、万有引力、光学分析的思想就是在这时孕育成形的。可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。

  尽管帕斯卡显然具有数学天才,但他成年后的大部分时间却致力于神学研究,他的神学著作至今仍然是人们经常研究的课题。帕斯卡常常从他周围的事物中感觉到种种预兆,他认为在上帝对他的安排中没有包括数学,于是,他便完全放弃了数学。但是,他在35岁的时候,有一次,因牙疼难忍,便去思索数学问题以排遣,而疼痛竟然消失了。他觉得这是上天的启示,随即重操旧业,研究数学。虽然帕斯卡这次对数学的研究还不足一个星期,但他已发现了旋轮类曲线的基本性质(我们将在下一章讨论旋轮类曲线的问题)。此后,帕斯卡再次放弃了数学。1662年,年仅39岁的帕斯卡与世长辞。

怪异的牛顿

怪异的牛顿

  在三位法国数学家中,也许最值得注意的要数图卢兹的皮埃尔·德·费马(1601—1665年),他统领了17世纪中叶的数学发展。费马在数学的许多领域中都享有盛名,并作出过重大发现。他独立于、甚至早于笛卡尔创立了自己的解析几何,而且,费马的方法在某些方面比他这位同时代的名人更“现代化”。当然,笛卡儿是第一位发表解析几何著作的数学家,并因而获得了崇高的荣誉,但是,费马的工作同样应当受到推崇。并且,帕斯卡与费马在17世纪50年代的书信往来还奠定了我们前面所讲到过的概率论的基础。除此以外,费马还在我们今天称之为微分学的发展上作出过重大贡献。在一些地方,特别是在法国,人们有时认为他是微积分的共同创立者之一,而大部分数学史家虽然承认费马的巨大成就,但却认为这种看法未免失之偏颇。

1667年复活节后不久,牛顿返回到剑桥大学,10月被选为三一学院初级院委,翌年获得硕士学位,同时成为高级院委。1669年,巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职,26岁的牛顿晋升为数学教授。巴罗让贤,在科学史上一直被传为佳话。

1667年复活节后不久,牛顿返回到剑桥大学,10月被选为三一学院初级院委,翌年获得硕士学位,同时成为高级院委。1669年,巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职,26岁的牛顿晋升为数学教授。巴罗让贤,在科学史上一直被传为佳话。

  然而,在数论领域,费马留下了他不可磨灭的足迹。我们在欧几里得的《原本》第7篇至第9篇中曾见到过这个论题。有关数论的一部古代名著是丢番图的《算术》(约公元250年?)。在文艺复兴时期,这部著作被重新发现,并翻译成多种文字,证明是一部非常有影响的论文。费马得到了一本丢番图的著作,并深深地沉溺于其中,不久便在有关整数性质方面作出了他自己的惊人发现。

牛顿并不善于教学,他在讲授新近发现的微积分时,学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力,他却远远超过了常人。还是学生时,牛顿就发现了一种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法,算出了双曲面积到二百五十位数。他曾经高价买下了一个棱镜,并把它作为科学研究的工具,用它试验了白光分解为的有颜色的光。开始,他并不愿意发表他的观察所得,他的发现都只是一种个人的消遣,为的是使自己在寂静的书斋中解闷。他独自遨游于自己所创造的超级世界里。后来,在好友哈雷的竭力劝说下,才勉强同意出版他的手稿,才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。

牛顿并不善于教学,他在讲授新近发现的微积分时,学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力,他却远远超过了常人。还是学生时,牛顿就发现了一种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法,算出了双曲面积到二百五十位数。他曾经高价买下了一个棱镜,并把它作为科学研究的工具,用它试验了白光分解为的有颜色的光。开始,他并不愿意发表他的观察所得,他的发现都只是一种个人的消遣,为的是使自己在寂静的书斋中解闷。他独自遨游于自己所创造的超级世界里。后来,在好友哈雷的竭力劝说下,才勉强同意出版他的手稿,才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。

  费马常常提出一些诱人的命题,有时又宣称已得出了确凿的证明,但又很少将这些证明写下来。因此,后代数学家(时常是欧拉)就不得不去补上这些欠缺的证明。结果,数学史学家在确定荣誉究竟应该归于谁时,常常感到左右为难——归于费马,是他第一个阐述了这些命题,而且也可能作出过证明;或者,应归于欧拉,因为事实上毕竟是他写下了这些论证。

作为大学教授,牛顿常常忙得不修边幅,往往领带不结,袜带不系好,马裤也不纽扣,就走进了大学餐厅。有一次,他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差,他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。他抓住姑娘的手指,错误的把它当成通烟斗的通条,硬往烟斗里塞,痛得姑娘大叫,离他而去。牛顿也因此终生未娶。

作为大学教授,牛顿常常忙得不修边幅,往往领带不结,袜带不系好,马裤也不纽扣,就走进了大学餐厅。有一次,他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差,他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。他抓住姑娘的手指,错误的把它当成通烟斗的通条,硬往烟斗里塞,痛得姑娘大叫,离他而去。牛顿也因此终生未娶。

  显然,费马的大部分“定理”(我们颇费踌躇地使用“定理”一词,因为他的许多命题都过分自信,但缺少证明)都是受到丢番图著作的启发而提出的。费马在丢番图那本《算术》中命题Ⅱ.8的书页边上写下了一条批语。命题Ⅱ.8提出,一个整数平方可分解为另外两个整数平方之和,例如,52=32+42或252=72+242。在丢番图这一定理旁边,费马写下了他著名的批语:

牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事,结果作出了科学史上一个个重要的发现。他马虎拖沓,曾经闹过许多的笑话。一次,他边读书,边煮鸡蛋,等他揭开锅想吃鸡蛋时,却发现锅里是一只怀表。还有一次,他请朋友吃饭,当饭菜准备好时,牛顿突然想到一个问题,便独自进了内室,朋友等了他好久还是不见他出来,于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了,鸡骨头留在盘子,不告而别了。等牛顿想起,出来后,发现了盘子里的骨头,以为自己已经吃过了,便转身又进了内室,继续研究他的问题。

牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事,结果作出了科学史上一个个重要的发现。他马虎拖沓,曾经闹过许多的笑话。一次,他边读书,边煮鸡蛋,等他揭开锅想吃鸡蛋时,却发现锅里是一只怀表。还有一次,他请朋友吃饭,当饭菜准备好时,牛顿突然想到一个问题,便独自进了内室,朋友等了他好久还是不见他出来,于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了,鸡骨头留在盘子,不告而别了。等牛顿想起,出来后,发现了盘子里的骨头,以为自己已经吃过了,便转身又进了内室,继续研究他的问题。

  “但是,不可能将一个三次方数分解为两个三次方数之和,或将一个四次方数分解为两个四次方数之和。总之,高于二次方的任何次乘幂都不可能分解为两个同样次幂之和;对此,我已发现了极巧妙的证明,但页边空白太小,写不下了。”

伟大的成就

伟大的成就

  用现代话说,他的批语表明,我们不能找到整数a、b、c和指数n≥3,并使an+bn=cn。如果他的论点是正确的话,那么,一个整数平方分解为两个整数平方之和就完全是一种侥幸;费马说,除了平方以外,任何次幂的整数都不能写成两个较小整数的同次幂之和。

在牛顿的全部科学贡献中,数学成就占有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人回忆,他是在1664年和1665年间的冬天,在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。

在牛顿的全部科学贡献中,数学成就占有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人回忆,他是在1664年和1665年间的冬天,在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。

  像往常一样,费马没有留下证明。他把其证明缺漏的原因仅仅归结于丢番图书页空白的狭小。费马似乎在说,只要有一张白纸,他会很高兴为他的发现作出精彩的证明。而实际上,就像他的大部分命题一样,他把寻求证明的重任留给了后人。

微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题,才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的,牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问题,如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等,在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人,他站在了更高的角度,对以往分散的努力加以综合,将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分,并确立了这两类运算的互逆关系,从而完成了微积分发明中最关键的一步,为近代科学发展提供了最有效的工具,开辟了数学上的一个新纪元。

微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题,才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的,牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问题,如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等,在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人,他站在了更高的角度,对以往分散的努力加以综合,将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分,并确立了这两类运算的互逆关系,从而完成了微积分发明中最关键的一步,为近代科学发展提供了最有效的工具,开辟了数学上的一个新纪元。

  对于费马的这一论断,后人依然在寻求证明,因为他的论断至今依然未能解决。甚至连曾解开过许多费马“定理”之谜的欧拉,对他这一论断也只证明出n=3和n=4。也就是说,欧拉证明,一个三次方数的确不能写成两个三次方数之和,或者,一个四次方数也同样不能分解为两个四次方数之和。但是,就人们普遍称之为“费马大定理”的一般情况而言,问题仍然悬而未决。如同费马没有给出证明的其他许多命题一样,他的这一命题很可能也是正确的。尽管如此,迄今尚无一位数论学家证明这个命题;同样,也没有任何人提出反例,否定这个命题。所以,在这个意义上说,称其为费马的大“定理”,确实有些草率。即使在20世纪末叶,人们对这个问题的兴趣越来越高,如果能有人攻克这道难题,他肯定会在今后的数学史上留下光辉的一页。

1707年,牛顿的代数讲义经整理后出版,定名为《普遍算术》。他主要讨论了代数基础及其在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算,用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程,同时对方程的根及其性质进行了深入探讨,引出了方程论方面的丰硕成果,如,他得出了方程的根与其判别式之间的关系,指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数,即“牛顿幂和公式”。

1707年,牛顿的代数讲义经整理后出版,定名为《普遍算术》。他主要讨论了代数基础及其在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算,用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程,同时对方程的根及其性质进行了深入探讨,引出了方程论方面的丰硕成果,如,他得出了方程的根与其判别式之间的关系,指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数,即“牛顿幂和公式”。

  现在,倘若我们能够回到1661年夏季,检点17世纪的数学遗产,我们将会注意到许多重要事情。代数符号、对数、解析几何、概率和数论——所有这些都已初具规模,而维埃特、纳皮尔、笛卡儿、帕斯卡和费马这些名字将受到应有的尊崇。他们的确是英雄。当然,在1661年夏天,丝毫没有人注意到一个正在悄悄开始的数学旅程,这一旅程很快将使所有这些伟人黯然失色。这一数学旅程开始于美丽的剑桥大学三一学院。1661年夏,来自学院附近乌尔索普的一位少年开始了他的大学生涯。他已经显露出他的才华,而与他一起进入三一学院读书的十几位同学,虽然同样无声无臭,却也同样才华横溢。然而,这位年青人日后将成为英雄世纪的最伟大的英雄,并同时永远改变了人类观察世界的方法。他的名字当然就是艾萨克·牛顿。

牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心,给出密切线圆概念,提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》,于1704年发表。此外,他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。

牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心,给出密切线圆概念,提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》,于1704年发表。此外,他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。

解放了的头脑

牛顿是经典力学理论理所当然的开创者。他系统的总结了伽利略、开普勒和惠更斯等人的工作,得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律。

牛顿是经典力学理论理所当然的开创者。他系统的总结了伽利略、开普勒和惠更斯等人的工作,得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律。

  1642年的圣诞节,一个早产儿危险地降生了,这就是牛顿,他瘦小得简直可以放进“一夸脱容量的杯子”中。而更为不幸的是,他的父亲已于10月初故去,只撇下母亲一人独自抚养这羸弱的婴儿。但是,他却终于绝处逢生,并顺利地度过了林肯郡严寒的冬天,最后,艾萨克竟活到了84岁高龄。

牛顿发现万有引力定律是他在自然科学中最辉煌的成就。那是在假期里,牛顿常常来到母亲的家中,在花园里小坐片刻。有一次,象以往屡次发生的那样,一个苹果从树上掉了下来。一个苹果的偶然落地,却是人类思想史的一个转折点,它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍,引起他的沉思:究竟是什么原因使一切物体都受到差不多总是朝向地心的吸引呢?牛顿思索着。终于,他发现了对人类具有划时代意义的万有引力。他认为太阳吸引行星,行星吸引行星,以及吸引地面上一切物体的力都是具有相同性质的力,还用微积分证明了开普勒定律中太阳对行星的作用力是吸引力,证明了任何一曲线运动的质点,若是半径指向静止或匀速直线运动的点,且绕此点扫过与时间成正比的面积,则此质点必受指向该点的向心力的作用,如果环绕的周期之平方与半径的立方成正比,则向心力与半径的平方成反比。牛顿还通过了大量实验,证明了任何两物体之间都存在着吸引力,总结出了万有引力定律:

牛顿发现万有引力定律是他在自然科学中最辉煌的成就。那是在假期里,牛顿常常来到母亲的家中,在花园里小坐片刻。有一次,象以往屡次发生的那样,一个苹果从树上掉了下来。一个苹果的偶然落地,却是人类思想史的一个转折点,它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍,引起他的沉思:究竟是什么原因使一切物体都受到差不多总是朝向地心的吸引呢?牛顿思索着。终于,他发现了对人类具有划时代意义的万有引力。他认为太阳吸引行星,行星吸引行星,以及吸引地面上一切物体的力都是具有相同性质的力,还用微积分证明了开普勒定律中太阳对行星的作用力是吸引力,证明了任何一曲线运动的质点,若是半径指向静止或匀速直线运动的点,且绕此点扫过与时间成正比的面积,则此质点必受指向该点的向心力的作用,如果环绕的周期之平方与半径的立方成正比,则向心力与半径的平方成反比。牛顿还通过了大量实验,证明了任何两物体之间都存在着吸引力,总结出了万有引力定律:

  身体得到复原,苦难却仍未结束。牛顿三岁的时候,他的母亲汉纳·艾斯库·牛顿嫁给了邻村一个63岁的教长巴纳巴斯·史密斯。史密斯虽然急切地希望娶一个年青的妻子,但却不愿接受一个三岁的孩子。所以,牛顿的母亲再婚之后,小艾萨克就被留下来与他的祖母一起生活。骨肉分离使小牛顿感到万分痛苦。母亲就住在附近,这对他无疑是一种残酷的折磨,因为他只要爬到树上,就可以眺望田野对面村庄中教堂的尖顶,他的母亲和继父就住在那座教堂里。艾萨克从来没见过父亲,现在又失去了母亲,他的痛苦不是由于疾病,而是由于亲情的冷漠。我们将看到,牛顿成人后变得有些神经过敏和愤世嫉俗,因为他很少感受到人类友情的温暖。完全可以认为,他的这种性格是因为遭受亲人遗弃而造成的。

F=G(m1m2 / r 2)(m1和m2是两物体的质量,r为两物体之间的距离)。在同一时期,雷恩、哈雷和胡克等科学家都在探索天体运动奥秘,其中以胡克较为突出,他早就意识到引力的平方反比定律,但他缺乏象牛顿那样的数学才能,不能得出定量的表示。

F=G(m1m2 / r 2)(m1和m2是两物体的质量,r为两物体之间的距离)。在同一时期,雷恩、哈雷和胡克等科学家都在探索天体运动奥秘,其中以胡克较为突出,他早就意识到引力的平方反比定律,但他缺乏象牛顿那样的数学才能,不能得出定量的表示。

  艾萨克长大后,进入了一所当时很不错的中学读书,也就是说,它主要是教授拉丁语和希腊语。课下,牛顿很少与人来往,他大部分课余时间都用来读书和制做各种精巧的小器械。传说他曾做过一个由小老鼠在踏车上驱动的小风车;还做过日晷,并将它们放在住处周围的各个主要方位上;他也曾将一个点燃的灯笼系在风筝上,高高放入春天的夜空中,想必曾使平静的英国村民们感到大为恐惧。这些活动显示了一个异常灵巧的年青人的智慧,他可不想只顾埋头于拉丁语复杂的动词变位中。这些活动还预示了一位天才实验物理学家的出现,他的实验小发明对他后来理论的发展具有无可估量的意义。

牛顿运动三定律是构成经典力学的理论基础。这些定律是在大量实验基础上总结出来的,是解决机械运动问题的基本理论依据。

牛顿运动三定律是构成经典力学的理论基础。这些定律是在大量实验基础上总结出来的,是解决机械运动问题的基本理论依据。

  1661年夏,艾萨克·牛顿离开家乡,去剑桥大学三一学院求学。当时,卡姆河畔这座平静的小镇作为高等教育中心已有400年的历史,是一个声誉卓著的古老学府,牛顿在这里有了用武之地。17世纪初叶,随着英格兰清教主义和宗教改革运动的兴起,剑桥大学得到了蓬勃的发展。剑桥大学有许多值得骄傲的事情,从詹姆士王钦定本英文《圣经》、国王学院小教堂的建筑杰作,到清教革命的领袖奥利弗·克伦威尔,他出生于附近的亨廷顿,1617年前就读于西德尼·萨赛克斯学院。

1687年,牛顿出版了代表作《自然哲学的数学原理》,这是一部力学的经典著作。牛顿在这部书中,从力学的基本概念(质量、动量、惯性、力)和基本定律出发,运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具,建立了经典力学的完整而严密的体系,把天体力学和地面上的物体力学统一起来,实现了物理学史上第一次大的综合。

1687年,牛顿出版了代表作《自然哲学的数学原理》,这是一部力学的经典著作。牛顿在这部书中,从力学的基本概念(质量、动量、惯性、力)和基本定律出发,运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具,建立了经典力学的完整而严密的体系,把天体力学和地面上的物体力学统一起来,实现了物理学史上第一次大的综合。

  但当牛顿进入剑桥大学时,剑桥大学已失去了往昔的荣耀。其原因与英国历史的兴衰变迁密切相关。1642年,也就是牛顿出生的那一年,在克伦威尔领导下的清教徒胜利结束了他们与君主制的长期斗争。克伦威尔亲自主政,1649年,国王查理一世在伦敦白厅被处死后,克伦威尔政府成为不容置疑的权威。其时,清教的剑桥大学正处于鼎盛之际,而保皇党的大本营牛津大学则相形见绌。

在光学方面,牛顿也取得了巨大成果。他利用三棱镜试验了白光分解为的有颜色的光,最早发现了白光的组成。他对各色光的折射率进行了精确分析,说明了色散现象的本质。他指出,由于对不同颜色的光的折射率和反射率不同,才造成物体颜色的差别,从而揭开了颜色之迷。牛顿还提出了光的“微粒说”,认为光是由微粒形成的,并且走的是最快速的直线运动路径。他的“微粒说”与后来惠更斯的“波动说”构成了关于光的两大基本理论。此外,他还制作了牛顿色盘和反射式望远镜等多种光学仪器。

在光学方面,牛顿也取得了巨大成果。他利用三棱镜试验了白光分解为的有颜色的光,最早发现了白光的组成。他对各色光的折射率进行了精确分析,说明了色散现象的本质。他指出,由于对不同颜色的光的折射率和反射率不同,才造成物体颜色的差别,从而揭开了颜色之迷。牛顿还提出了光的“微粒说”,认为光是由微粒形成的,并且走的是最快速的直线运动路径。他的“微粒说”与后来惠更斯的“波动说”构成了关于光的两大基本理论。此外,他还制作了牛顿色盘和反射式望远镜等多种光学仪器。

  然而,好景不长。清教徒的共和国并不比被推翻的君主制好多少,也许还更糟。1658年,克伦威尔死后,没有一个清教领导人能够填补这一空缺,英国民情汹汹,要求恢复君主制。因此,1660年,断头国王的儿子查理二世登上王位,这段时期,历史上称作王政复辟时期。无庸赘言,局势发生了根本的变化。剑桥大学自然成了新当权的保皇党怀疑和敌视的目标。王政复辟的第二年,牛顿进入剑桥大学,而这时的剑桥大学充斥着政治阴谋,成了庸才的庇护所,到处死气沉沉,完全不是一个理想的学习场所。

牛顿的研究领域非常广泛,他在几乎每个他所涉足的科学领域都做出了重要的成绩。他研究过计温学,观测水沸腾或凝固时的固定温度,研究热物体的冷却律,以及其他一些只有在与他自己的主要成就想比较时,才显得逊色的课题。

牛顿的研究领域非常广泛,他在几乎每个他所涉足的科学领域都做出了重要的成绩。他研究过计温学,观测水沸腾或凝固时的固定温度,研究热物体的冷却律,以及其他一些只有在与他自己的主要成就想比较时,才显得逊色的课题。

  我们今天尊崇剑桥大学为少数几个真正的教育中心之一,但我们很难想象17世纪60年代剑桥大学衰败的情形。那时,学校任命教授,完全是出于政治或教会的原因,其中有许多教授,完全与学术无关。据记载,甚至有人50年中竟然没有教过一个学生,没有写过一本书,或没有讲过一次课!实际上,有些教师根本不住在剑桥一带,他们只是偶尔来此一游。

牛顿晚年

牛顿晚年

  教授对学术尚且如此冷漠,学生自然也就不求进取。表面上,剑桥大学维持了学术生活的虚假繁荣,为好学的青年人开设了大量人文科课程。但实际上,剑桥大学的学生更多地热中于到遍布校园的小酒店里开怀畅饮一类事情。学生乃至教授当然可以毫不费力地在剑桥大学中混日子。

随着科学声誉的提高,牛顿的政治地位也得到了提升。1689年,他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员,牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时,他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。

随着科学声誉的提高,牛顿的政治地位也得到了提升。1689年,他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员,牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时,他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。

  起初,艾萨克·牛顿慕名而来,对学校寄予了很高的期望。他开始学习规定的拉丁文学和亚里士多德哲学课程,但他逐渐放弃了这类学业,或者是因为他感到老师无能,或者是因为他意识到这些课程的迂腐和无用,也或者只是因为显然没有任何人真正关心他的学习情况。

晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活,1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有,被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长,在他任职的二十四年时间里,他以铁拳统治着学会。没有他的同意,任何人都不能被选举。

晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活,1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有,被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长,在他任职的二十四年时间里,他以铁拳统治着学会。没有他的同意,任何人都不能被选举。

  他在三一学院的同学们可能也有同感,他们晚上纷纷跑到小酒店去纵酒狂欢,而牛顿却与众不同。他贪婪地博览群书。人们常常看到他一边散步,一边沉思。当牛顿的注意力被一个想法所吸引时,他能以异于常人的专心,废寝忘食地进行研究,尤其是对一个特别有趣的难题。牛顿初到剑桥大学的时候,还表现出一种老式的负罪感,他有一个笔记本,里面记录了他的各式各样的罪孽,从他不经常祈祷,在教堂做礼拜时漫不经心,到他“不洁的思想、语言、行为和梦境”。诚然,清教主义的思想对他影响很大,但是,人们也会想到,生活的孤独也必定会在很大程度上对一个性格内向的青年人产生深刻的影响。

晚年的牛顿开始致力于对神学的研究,他否定哲学的指导作用,虔诚地相信上帝,埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时,竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物,我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。

晚年的牛顿开始致力于对神学的研究,他否定哲学的指导作用,虔诚地相信上帝,埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时,竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物,我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。

  如果一时没有罪孽可以记录,这一永远好奇的学生便忙着对光、颜色和视觉的性质做各种实验。例如,他曾长时间地凝视太阳,然后,详细地记录他视觉中所出现的斑点和闪光,这个实验影响他的视力长达几天之久;实际上,他不得不将自己关在暗室中,让眼中的影象慢慢消退。又有一次,他对眼球的形状如何扭曲和改变形象感到好奇,便以自己为对象设计了一个十分可怕的实验。据牛顿记载,他用一根小棍,或“粗针”,

1727年3月20日,伟大艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样,他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着:

1727年3月20日,伟大艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样,他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着:

  “在我的眼睛与眼骨之间扎,并尽可能地扎到眼球的后部,然后用粗针的顶端压迫眼球……于是便出现了许多白的、黑的和彩色的光环,当我用粗针头继续在眼睛上摩擦的时候,这些光环便显得分外清晰……”

让人们欢呼这样一位多么伟大的

让人们欢呼这样一位多么伟大的

  牛顿亲手画了一张图来说明这个可怕的实验,他画出了用小棍在他扭曲了的眼球下部和后部摩擦的情形,并用从a到g的字母一一标明。显然,这可不是一位普通的大学生。

人类荣耀曾经在世界上存在。

人类荣耀曾经在世界上存在。

  王政复辟时期的剑桥大学,虽然有种种弊端,但它拥有一个很大的图书馆,对于这个充满好奇心的一流学生来说,这确是一个非常必要的知识宝库。说到书,这里还有一段故事。1663年,牛顿在斯特布里奇集市上碰到一本关于占星术的书。为了弄懂书中的几何图,他决定阅读欧几里得的《原本》。有趣的是,他初次阅读,就发现这本古代教科书中充满了无关紧要和不证自明的定理(顺便说一句,成年后的牛顿抛弃了这种观点)。

  牛顿读书,有一个特点就是他不满足于只读希腊的经典著作。他还花费了很大气力,阅读笛儿尔的几何学。他后来回忆说,在他开始阅读这部著作的时候,刚刚读过几页,就被完全难住了。然后,他再翻回第1页,重新读一遍,这一次会有所进展,但继续下去又会感到难以理解,这样,他就再翻回来重读。如此循环往复。他就这样,一点儿一点儿地独自啃完了这部《几何学》,没有任何导师或教授帮助。当然,考虑到教师庸庸碌碌,所规定的课程又厚古薄今,他也很难找到任何可以帮助他的人。

  然而,在剑桥大学教授中,毕竟有一位教授堪当此任,他就是卢卡斯讲座数学教授艾萨克·巴罗(1630—1677年)。虽然在现代意义上,巴罗算不上牛顿的老师,但他无疑曾与这位初露头角的学者有过接触,并曾指导过牛顿阅读当代主要的数学著作。通过不断的阅读与思考,牛顿在普通的科学与数学背景下一跃掌握了当代大部分的新发现。牛顿既已进入前沿,便开始向未开垦的领域进军。

  1664年,牛顿荣获三一学院奖学金,为他硕士学位的学习赢得了四年的经济资助。他有了更多的自由去探索自己感兴趣的问题。这种自由加上他通过博览群书打下的坚实基础,将解放一个历史上最伟大的天才。从此,牛顿开始着手解决摆在他面前的问题,其精神之专注,简直令人难以置信。20世纪剑桥大学著名的经济学家约翰·梅纳德·凯恩斯曾对牛顿的能力做过如下评价:

  “他的非凡天才在于他能够长时间地连续思考一个纯智力问题,直至解决……任何研究过纯科学或纯哲学问题的人都知道,一个人只可能短时间地集中思考一个问题,并且,集中全部精力思考,但过不久,注意力就会逐渐分散和转移,你会发现,你的思想成为一片空白。但我相信,牛顿能够连续几小时、几天和几星期地集中思考一个问题,直到解开其中的奥秘为止。”

  牛顿对他如何解决难题做了同样的说明,只不过更加简洁,就是“通过持续不断的思考”。

  其后几年,牛顿带着对新发现的极度兴奋,更加勤奋地工作。人们常常看到他在微弱的烛光下一直工作到深夜。据说,他的猫因为常常饱餐牛顿碰也没碰一下的饭菜,竟然长得十分肥胖。这位年轻人认为错过吃饭、耽误睡觉与取得的巨大进展相比,实在是微不足道的。

  这两年,也许是任何思想家,当然是任何一位23岁的思想家可能有过的最多产的两年。他的成功,一部分是在剑桥大学,还有一部分是在他的家乡乌尔索普取得的,因为爆发了可怕的瘟疫,学校被迫关闭。1665年初,他发现了我们现在所称的“广义二项式定理”,并成为他以后数学著作中的重要部分。不久后,他提出了“流数法”(即我们今天所称的微分学)。1666年,他发明了“逆流数法”(即积分学)。在这期间,他还创造性地提出了他的颜色理论。但据牛顿回忆,他还有更多的发现:

  “……同一年,我开始思考重力与月球运行轨道的问题……我推算出保持星体绕其轨道运动的引力一定与它们球心距的平方成反比;比较保持月球绕轨道运动的引力与地球表面的重力,发现二者的答案非常接近。”

  50年后,年迈的牛顿所做的这些回忆准确地阐述了万有引力理论的雏形,这一理论远胜于牛顿其他任何成就,为他赢得了崇高的科学声望。面对这些发现,他以一种非常坦率而冷漠的笔触写道:

  “所有这些发现都是在1665—1666这两年瘟疫期间做出的。因为这两年是我发现力最盛时期,我对数学和哲学的研究比其它任何时期都要多。”

  因此,这两年瘟疫期间称为牛顿的“高峰年”,情况确实如此。据说,他所有的理论都是在这段时间内形成、完善和成熟的。这不免有点儿夸大其辞,因为在这之后的年月里,牛顿仍在继续推敲和改进这些理论。然而,牛顿在这短暂的两年里所表现出来的创造力不仅规定和指导了他自己一生的研究方向,而且在很大程度上规定和指导了科学的未来。

  今天,人们很容易忘记牛顿做出这些非凡的发现时只是剑桥大学的一个无名之辈。R.S.韦斯特福尔也许是我们今天最出色的牛顿传记作家,他对这一明显的事实做了如下的精彩记载:

  “(牛顿的成功)已经显示出一代宗师的风范,足以使欧洲所有的数学家由衷地羡慕、妒忌和敬畏。但实际上,欧洲只有一位数学家,即艾萨克·巴罗知道牛顿的存在,据说,1666年,巴罗对牛顿的成就也仅仅略知一二。但牛顿的不为人知,并不影响这一事实,即这位不足24岁的青年人,虽然没有受过正规教育,却已成为欧洲最出色的数学家。真正举足轻重的人物,也就是牛顿自己,非常清楚自己的地位。他曾研究过诸位大师。他知道,他们各自都有其局限性。而他自己,却已远远地超过了他们所有人。”

  纵观历史,我们已看到,数学的中心不断地从一个地方转移到另一个地方,从毕达哥拉斯学派所在的克罗托内先后转移到柏拉图的雅典学园、亚历山大、巴格达,然后又转移到文艺复兴时期卡尔达诺和费拉里所在的意大利。然而,令人难以相信的是,17世纪60年代中期,数学中心又转移到了三一学院一个学生简朴的房间里,而此后,不论牛顿住在哪里,哪里就是世界的数学中心。

牛顿二项式定理

  对于牛顿非凡的发现,我们在此只能略窥一斑。我们首先介绍牛顿的第一大数学发现——二项式定理。虽然按照欧几里得或阿基米德的概念来说,这不是一条“定理”,因为牛顿没有提供完整的证明。但是,他的见识和直觉足以使他发明出这一恰当而准确的公式,并且,我们将看到,他是如何以一种最奇妙的方式应用这一公式的。

  二项式定理论述了(a b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力,便可以得到如下公式,

(a b)2=a2 2ab b2

  (a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3

     (a b)4=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

  等等。对于(a b)12,人们显然希望不必经由(a b)十几次自乘的冗长计算,就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久,人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密,但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到,二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”①的排列中得到:

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  在这个三角形中,每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此,根据帕斯卡三角,下一行的数值为

  1 8 28 56 70 56 28 8 1

  例如,表值56就等于其上左右两个数字21 35之和。

  帕斯卡三角与(a b)8展开式之间的联系是非常直接的,因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数,即

  (a b)8=a8 8a7b 28a6b2 56a5b3 70a4b4 56a3b5 28a2b6 8ab7 b8

  我们只要将三角形的数值再向下延伸几行,就可以得到(a b)12展开式中a7b5的系数为792。所以,帕斯卡三角的实用性是非常明显的。

  年轻的牛顿经过对二项展开式的研究,发明了一个能够直接导出二项式系数的公式,而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且,他对模式的持续性的固有信念使他认为,能够正确推导出诸如(a b)2
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形式的二项式。

  关于分数指数和负数指数问题,在此还需多说一句。我们知道,在初
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  以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的(此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交)。牛顿写道:
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式的“指数是整数还是(比如说)分数,是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。

  对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说,牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下,就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看,
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  也许,这种形式看起来就比较熟悉了。

  我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如,在展开(1 x)3时,
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        (1+x)3
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  这恰恰就是帕斯卡三角的排列系数;并且,由于我们的原指数是正整数3,所以,展开式到第四项结束。

  但是,当指数是负数时,又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如,展开(1 x)-3,根据牛顿公式,我们得到
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  或简化为

  (1 x)-3=1-3x 6x2-10x3 15x4-……

  方程右边永远没有终止。应用负指数定义,这一方程就成为
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  牛顿将上式交叉相乘并消去同类项,证实

  (1 3x 3x2 x3)(1-3x 6x2-10x3 15x4-……)=1

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  牛顿用等式右边的无穷级数自乘,也就是求这无穷级数的平方,以检验这一貌似奇特的公式,其结果如下:
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澳门威斯尼斯人网址数学天才之路,牛顿的老师。         =1-x 0x2 0x3 0x4 ……

         =1-x

  所以
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  这就证实了
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  与牛顿原推导结果相同。

  牛顿写道:“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如,假设我们
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  现在,将等式右边的平方根代入前面标有(*)符号的二项展开式中的前6
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只取了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项,我们就会得到更加精确的近似值。并且,我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根,
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特别奇怪的。而真正令人吃惊的是,牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数,而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的,无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。

  二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数,也就是我们今天所说的积分。但是,对逆流数的详尽说明属于微积分问题,超出了本书的范围。然而,我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理,并举一两个例子来加以说明。

  牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题,但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题,他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如,我们知道,艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文,他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道:“……我的一个朋友…… 在这些问题上很有天分,他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。

  设任意曲线AD的底边为AB,其垂直纵边为BD,设AB=x,BD=y,并设a、b、c等为已知量,m和n为整数。则:
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  牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2,“如果y值是由几项之和组成的,那么,其面积也同样等于每一项面积之和。”例如,他写道,
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  那么,牛顿所采用的两个工具就是:二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具,可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题,而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具,使一个古老的问题获得了全新的生命:计算π的近似值。我们在第四章的后记中,追溯了这一著名数字的某些历史,确认了某些学者,如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右,这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法,对这一古老问题进行研究,并取得了辉煌的成就。

伟大的定理:牛顿的π近似值

  牛顿当然精通解析几何的概念,他用解析几何的方法研究π近似值问
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示。他知道这个圆的方程是
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  经化简并求解y得到上半圆方程为
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  (他为什么选择这样一个半圆也许完全是个谜,但其效用在论证结束时自会明了。)

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  因此,半圆的方程可演变为
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图7.3所示。并作BD垂直于半圆的直径AE。然后,他用两种完全不同的方法,求阴影部分ABD的面积:

1.用流数法求面积(ABD) 我们已经看到,牛顿知道如何求一条
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则1和法则2,阴影部分的面积为
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其方程式就会变得极为简单,因为
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  所以,我们只要应用(**)方程式中的前9项级数,就可以计算出阴影部分(ABD)面积的近似值,得
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2.用几何方法求面积(ABD) 牛顿接着用纯几何方法验算阴影部
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  到目前为止,一切顺利。下一步,牛顿要求出楔形或扇形部分ACD的面积。为此,他再次利用△DBC。由于BC的长度恰好是斜边CD的一半,他认为,这就是我们所熟悉的30°-60°-90°直角三角形;特别是,∠BCD是60°角。

  至此,我们再一次为他深邃的见识所折服,因为如果他在B点以外的其它地方作垂线,那么,在他最需要的时候,就不会恰好形成60°角。现在,已知扇形的角度为60°,也就是说,等于构成半圆的180°角的三分之一,牛顿就可以断定,扇形的面积也等于半圆面积的三分之一。即
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  机敏的读者会想起,这一伟大定理是牛顿的π近似值,他们会很着急,不知道这个常数何时和怎样才能进入他的论证。终于,π在牛顿的推理链中出现了,现在只剩下最后一两步,就可以巧妙地计算出他的π近似值。

  因此,用几何方法求出的阴影部分的面积为
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  我们将牛顿用流数/二项式定理方法所计算出的同一阴影部分面积的近似值与上述结果列为方程,就得到
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  解π,就得到π的近似值:
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  牛顿π近似值的惊人之处在于他只用了二项展开式中的前9项,就使其π值精确到7位小数,而且,我们发现,牛顿的π近似值与π的真值相差不足0.000000014。牛顿的π近似值比我们在第四章中所讲到过的韦达或卢道尔夫的惊人的计算又前进了一大步。实际上,应用这一方法,唯一
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牛顿的二项式定理就可以很容易地计算出平方根的值。总之,这一结果清楚地表明了他的数学新发现在解决这一古老问题时的显著效能和巨大成功。

  牛顿的π近似值直接引自他的《流数法和无穷级数》,这篇论文写于1671年,但几十年没有发表。这篇论文发展了他几年前撰著的《分析学》
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项展开式中的20项,计算出16位小数的π值。一次,在讲到这一π近似值时,他有几分羞愧地承认,“我真不好意思告诉你我计算到了多少位小数,因为当时我没有其他事情好做。”

  尽管牛顿感到羞愧,但那些能够细致入微地欣赏数学美的人却会对当时没有其他紧迫问题占据他那智慧的大脑而感到由衷的高兴,因为当时正是“……我创造力的全盛时期,而且对数学和哲学的关心超过其他任何时候。”

后记

  这些就是牛顿在17世纪60年代中叶瘟疫期间就读于三一学院时所取得的成果。此后的六十余年,这个英格兰小乡村的不幸孩子逐渐名扬天下。本章的结尾部分将介绍他不平凡一生中的其他篇章。

  1668年,牛顿完成了他硕士学位的学习,并被选为三一学院的研究员。这就意味着他只要庄严宣誓,并保持独身,就可以无限期地保留他的学术职位,并得到额外津贴。不仅如此,第二年,艾萨克·巴罗辞去卢卡斯讲座数学教授的席位,并力荐牛顿接替他担任教授。据说,巴罗去职是因为他承认牛顿在数学上更胜于他,因而不能心安理得地占据教授一席。但实际上,巴罗的去职并非出于高尚动机,他在希腊文和神学方面也是一位出色的学者,当时正在角逐其他领域的更高职位。巴罗辞去卢卡斯讲座教授职位后,不久就担任了御前牧师。尽管如此,巴罗在牛顿担任教授一事中,毕竟起了很大作用。巴罗当然有知人之明,因而,他诚心诚意地推荐牛顿是“……我们学院的一位研究员,……非常年青……但却是一位非凡的天才和大师。”

  牛顿作为卢卡斯讲座的教授,事情并不多。他既不必教学生,也不必作指导教师,他除了领取丰厚的薪酬,保持道德上的清高之外,主要工作就是定期做数学演讲。如果有人以为学生一定会蜂拥而至,聆听这位伟人的讲座,那么,他们就会感到非常吃惊。不要忘记,牛顿在他那非常狭小的圈子之外尚无名望,而且,当时剑桥大学的学生也不必勤奋向学。一位同时代人曾对牛顿的卢卡斯讲座作过如下记载:

  “……听他讲座的人很少,而且,能够听懂的人就更少,由于缺少听众,他几乎常常对着墙壁宣讲。”

  他还说,牛顿的讲座一般持续半个小时,除非一个听众也没有,而在这种情况下,他只在那里呆15分钟。

  如果说牛顿口才不佳,那么,他的科学研究成果却非常丰硕。他很少交朋友,很少与人来往,在三一学院中成了一个离群索居而有几分奇特的人物。一位多年的同事回忆说,他只看到牛顿笑过一次。他唯一的那次笑是由他一位熟人引起的。当时,这位熟人正在读一本欧几里得的书,他问牛顿这部老朽的旧书有什么价值。对此,牛顿不禁放声大笑。

  牛顿的侄子汉弗莱·牛顿对他的教授生活做了最形象的描述,他写道:

  “他总是把自己关在屋子里研究,很少去拜访别人,也没有人来拜访他……我从来没见他有过任何消遣或娱乐,不论是骑马出去呼吸新鲜空气,散步、打保龄球,还是任何其他运动。他认为所有这些活动都是浪费时间,不如利用这些时间去作学问……他很少到餐厅用饭……如果没人关照他,他会变得非常邋遢,鞋子拖在脚上,袜子不系袜带,穿着睡袍,而且,几乎从来也不梳头。”

  然而,随着他未发表的论文,如《分析学》和《流数法和无穷级数》等等的流传,牛顿的名望与日俱增。1671年,他的第一部大作终于公诸于世,他在伦敦皇家学会的一次会议上展示了他新发明的反射望远镜。这一完美的光学仪器,是牛顿的光学理论和他实际动手能力相结合的产物。科学界高度赞扬他的努力,他的反射望远镜依靠底部反射镜而不是依靠顶部沉重而不稳定的透镜,直至今日,这种望远镜依然是光学天文学的首选仪器。

  在这一成功发明的激励下,牛顿不久向皇家学会递交了一篇论光学的论文。但是,这一次,他的激进思想受到了某些著名学者,如罗伯特·胡克的质疑与嘲笑。论争本是学术界一个很普通的现象,但牛顿却深为厌恶。一旦面对批评,他就会退回到他个人的小世界中,拒绝发表或与人交流他的思想,以免再次与那些不开化的同事发生冲突。他的这一决定意味着有许多辉煌的科学论文将几十年地躺在他的抽屉里,不为世人所知。我们在下一章将看到,他的这种做法造成了灾难性的后果,几年后,他的发现,特别是微积分,被别人首先发表,他不得不要求优先权。

  随着17世纪70年代的发展,牛顿的兴趣从数学与物理学转移到了其他方面。他将大量时间用于炼金术的研究,但我们从中可以看到一个现代化学家的头脑。然而,也有些事情未免迂腐,例如他在研究《圣经》时着眼于计算各位先知的年代与时期,计算约柜的尺寸大小,等等。他用了大量时间,如此这般地对《圣经》作了慎密的分析,其结果是他拒绝接受三位一体之中圣子耶稣的概念。想一想聘用他的三一学院这个名字,事情真有些古怪。艾萨克的观点过于激进,他不得不保持沉默,至少在他任卢卡斯讲座教授期间是如此。

  这样到了1684年。后来以其名字命名彗星的著名天文学家埃德蒙·哈雷拜访了牛顿,并力劝牛顿公布他的惊人发现。犹如往常一样,牛顿仍不情愿,但哈雷的劝说(更不必说哈雷答应负担出版费用)使牛顿相信该是发表他的著作的时候了。牛顿狂热起来,开始勤奋地工作,整理他的论文。这部著作日后成为他的科学代表作,其中阐述了他对运动定律和万有引力原理的研究。1687年,这部著作终于问世了,题为《自然哲学的数学原理》。展现在我们面前的,是一个宇宙体系,是对月球和行星运动的精确的数学推导,它使天地万物的严整性得到了解释,并与牛顿奇妙的方程正相吻合。自《原理》发表后,科学的面貌为之一变。

  《原理》获得了巨大的成功。虽然很少有人能够洞晓书中全部奥妙,但人们普遍认为牛顿近乎超人。许多年以后,法国数学家皮埃尔—西蒙·拉普拉斯记载了他对牛顿科学发现的尊崇、敬畏和羡慕之情:

  “牛顿是迄今为止最伟大的天才,也是最幸运的人,因为只有一个世界体系可供我们发现。”

  《原理》发表后的第二年是英国历史上重要的一年。1688年底,斯图亚特王朝的最后一位国王詹姆斯二世被赶下王位,逃往法国,威廉三世和玛丽二世即位。在随后称为“光荣革命”的政治改革中,国会的影响越来越大,而君主的权势则日趋衰落。有趣的是,1689年,从剑桥派往威斯敏斯特的国会议员不是别人,正是卢卡斯讲座教授艾萨克·牛顿。

  作为新君王的支持者,牛顿显然未能以其国会议员的身份给英国政府留下什么印象。尽管如此,他的生活却的确因此而发生了新的转机。如今,他不再是一个落落寡合,离群索居的学者,却以一种几年前甚至不可想象的方式登上了社会舞台。伴随《原理》一书的巨大成功,这位剑桥大学的教授成为伦敦的官员。他似乎很喜欢这种变化,并与许多知名人士交上朋友,如约翰·洛克和塞缪尔·佩皮斯。但是,1693年,牛顿生了一场大病,几乎精神崩溃,他生病的原因在一定程度上是因为他在做炼金术实验时常常品尝化学药品。1695年,牛顿身体康复,第二年,他辞去了卢卡斯讲座教授的职务,并离开了三一学院。自从牛顿作为一名普通的大学生从乌尔索普进入了三一学院以来,已经度过了35个春秋。35年的时光已将这个年青人变成了任何人都未曾预想到的伟人。

  那么,这位前教授后来又做了些什么呢?由于社会公职给牛顿留下了良好的印象,也许还由于他越来越认识到自己科学发明的顶峰时期已经过去,牛顿准备尝试一条完全不同的道路。因而,1696年,他接受了造币局局长的职位。当时,英国的货币是在伦敦塔上铸造的,而那里也是造币局局长生活和工作的地方。据说,牛顿在造币局干得很不错,他监管了英国币制的全面改革,并且与伦敦市的金融家和银行家们相处得十分融洽。

  牛顿任造币局局长的这些年,还有机会从事科学撰著。1704年,他出版了《光学》,在这部巨著中,牛顿奠定了他的光学理论,就像《原理》阐明了他的万有引力定律一样。有趣的是,牛顿是在《光学》的附录中,第一次发表了他的流数法理论,这篇论文题为《曲线求积术》。虽然牛顿早在40年前就已提出了这些思想,但是,直到1704年,他的这些理论才公诸于世。遗憾的是,他发表得太晚了。几年前,欧洲大陆的数学家已经发表了他们自己对微积分研究的论文。牛顿宣称他现在发表的这些理论其实已经诞生40年之久,对此,欧洲大陆的一些数学家即使没有公开表示怀疑,至少反应十分冷漠。

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  就在《光学》发表前不久,牛顿当选为皇家学会主席。他在这一职位上同样显示出非凡的管理才能,他的这些才能在他任职造币局局长期间便已有目共睹。牛顿担任皇家学会主席一职直到逝世。

  1705年,卓异的科学家、杰出的数学家、公务员和皇家学会主席艾萨克·牛顿被安妮女王封为爵士,倍极恩宠。授爵仪式恰当地选在剑桥大学三一学院举行。牛顿以“艾萨克爵士”的头衔又生活了22年。

  在这最后22年里,牛顿一直生活在伦敦,他将时间分别用于造币局和皇家学会的公务、科学撰著和参加首都一些有影响的活动。这些年肯定是艾萨克爵士春风得意的时期,他的权势和名望(更不要说他的个人财产)与日俱增。

  牛顿一直活到84岁高龄,于1727年逝世。其时,艾萨克·牛顿已被国人视为国宝,他也的确不愧这一崇高的赞誉。牛顿显然是欧洲最优秀的科学家,他的影响不亚于一次革命。他死后安葬在威斯敏斯特教堂,享受到与国王和英雄同等的殊荣。今天,牛顿的塑像醒目地矗立在威斯敏斯特教堂唱诗班大屏饰左面入口处,所有进入这一圣地的人都会一眼看到。

  全世界有许多赞颂牛顿的诗篇。例如,英国大诗人亚历山大·蒲柏曾写道:

  宇宙与自然的规律藏匿在夜空,

  上帝说“要有牛顿”,于是一切都变得光明。

  另一位著名诗人威廉·华兹华斯,性格有些压抑,他描写了诗人在三一学院度过的一夜:

  遥借星月之光,

  伏枕远望,

  教堂前矗立着牛顿雕像,

  看那默然无语,

  却棱角分明的脸庞。

  这大理石幻化的一代英才,

  永远在神秘的思想大海中,

  独自远航。

  对这位孤独的远航家的影响,怎么估计也不过分。我们只需回忆一下100年前卡尔达诺的世界观,就足以理解牛顿影响的深远意义——卡尔达诺的世界观是一种将科学与最古怪的迷信混合在一起的大杂烩。那时,世界在很大程度上被看作一个无理性的地方,一种超自然的力量渗透在世间一切事物之中,从彗星的形状到日常生活中的灾难,无所不包。而牛顿却以其极有规律的世界,从自然界排除了超自然的力量。他的理论阐述了一个理性的世界,一个有其基本法则(这在牛顿的遗产中占有很大比重),凡人能够解释的世界。

  有趣的是,就在牛顿进入剑桥大学166年后,另一位英国青年在剑桥大学基督学院开始了他的大学生涯,而且,他的住处离牛顿在三一学院的旧居仅隔几个街区。年轻的查尔斯·达尔文肯定常常走在许多年前牛顿所熟知的剑桥大学同一条街道上。像牛顿一样,达尔文也不愿公布他的发现,但是,1859年,他动笔写出了经典性的《物种起源》,这部巨著对生物学的影响,一如牛顿的《原理》之于物理学。犹如牛顿创造了物理“自然”世界一样,达尔文也同样创造了生物“自然”世界,他解释了地球上生命冲动的似乎无法解释的机制。他们两人的影响都十分深远,远远超出了科学本身。他们两人的理论都使人类对现实世界的认识产生了一场深刻的革命。今天,达尔文也同样长眠在威斯敏斯特教堂,与牛顿墓只相距几英尺——两个科学巨人,两个登峰造极的剑桥大学学生。

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  艾萨克·牛顿在其晚年,回忆他不平凡的智力探索过程,谦和地承认,如果他比别人看得更远些,那是因为他站在巨人的肩膀上。这里,他当然是指维埃特、伽利略、笛卡儿和英雄世纪的其他伟人。现在,他自己的肩膀也将托起后代学人。在一段常常被人引用的非常著名的话里,牛顿写道:

  “我不知道世人怎样看我;可我自己认为,我好像只是一个在海边玩耍的孩子,不时为拾到更光滑些的石子或更美丽些的贝壳而欢欣,而展现在我面前的是完全未被探明的真理之海。”

  但是,也许我们应当以下面这段墓志铭,祷祝他在威斯敏斯特教堂安息:

  “生民们,曾有如此一位伟人为人类而生,你们应当感到庆幸。”

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